Теорема Хартогса

Теорема Хартогса — твердження у комплексному аналізі про те, що у випадку коли комплексна функція багатьох комплексних змінних буде аналітичною за кожним зі своїх аргументів, то вона також буде аналітичною загалом.

Твердження

Нехай ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {C} ^{n}}$ — відкрита множина, ${\displaystyle a_{1},\dots a_{n}\in \mathbb {C} }$ деякі числа. Позначимо ${\displaystyle \Omega _{j,a}:=\left\{z\in \mathbb {C} \,:\,(a_{1},\dots ,a_{j-1},z,a_{j+1},\dots ,a_{n})\in \Omega \right\}\subseteq \mathbb {C} .}$ Для функції ${\displaystyle f:\Omega \rightarrow \mathbb {C} }$ можна визначити функції ${\displaystyle f_{j,a}:\Omega _{j,a}\rightarrow \mathbb {C} }$ дія яких визначається ${\displaystyle z\mapsto f(a_{1},\dots ,a_{j-1},z,a_{j+1},\dots ,a_{n})}$.

При цих позначеннях, якщо ${\displaystyle \forall \,a_{1},\dots a_{n}\in \mathbb {C} ,\;\forall \,j\in \mathbb {N} :1\leq j\leq n}$ функції ${\displaystyle f_{j,a}:\Omega _{j,a}\rightarrow \mathbb {C} }$ є аналітичними, то і функція ${\displaystyle f:\Omega \rightarrow \mathbb {C} }$ є аналітичною.

Див. також

• Лема Осґуда

Література

• Steven G. Krantz: Function Theory of Several Complex Variables. AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island 1992.