Теорема Ріса (також теорема Ріса-Фреше) у функціональному аналізі стверджує, що кожен лінійний обмежений функціонал у гільбертовому просторі може бути представлений через скалярний добуток за допомогою деякого елементу.
Твердження
Нехай маємо:
- Гільбертів простір H
- Лінійний обмежений функціонал у просторі
Тоді існує єдиний елемент простору такий, що для довільного виконується .
Також виконується рівність
Доведення
ядро лінійного функціоналу є векторним підпростором .
Існування
Якщо , достатньо взяти .
Якщо ж , тоді . Відповідно можна знайти елемент ,
- , позначимо .
Оскільки очевидно маємо за означенням b, що . З лінійності скалярного добутку отримуємо:
Звідси .
Нарешті
де позначено .
Єдиність
Припустимо і елементи Що задовольняють .
Для всіх справджується зокрема звідки й отримується рівність .
Рівність норм
Для доведення спершу з нерівності Коші-Буняковського маємо: . Звідси згідно з визначенням норми функціоналу маємо: З іншого боку звідки . Поєднуючи дві нерівності одержуємо
Див. також
Джерела
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — .(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teorema Risa takozh teorema Risa Freshe u funkcionalnomu analizi stverdzhuye sho kozhen linijnij obmezhenij funkcional u gilbertovomu prostori mozhe buti predstavlenij cherez skalyarnij dobutok za dopomogoyu deyakogo elementu TverdzhennyaNehaj mayemo Gilbertiv prostir H Linijnij obmezhenij funkcional f H displaystyle f in H u prostori H displaystyle H Todi isnuye yedinij element y displaystyle y prostoru H displaystyle H takij sho dlya dovilnogo x H displaystyle x in H vikonuyetsya f x y x displaystyle f x langle y x rangle Takozh vikonuyetsya rivnist y f displaystyle y f Dovedennyaker f displaystyle ker f yadro linijnogo funkcionalu ye vektornim pidprostorom H displaystyle H Isnuvannya y displaystyle y Yaksho f 0 displaystyle f equiv 0 dostatno vzyati y 0 displaystyle y 0 Yaksho zh f 0 displaystyle f neq 0 todi ker f H displaystyle ker f neq H Vidpovidno mozhna znajti element b ker f 0 displaystyle b in ker f bot smallsetminus big 0 big x H displaystyle forall x in H poznachimo p x x f x f b b displaystyle p x x tfrac f x f b b Oskilki ochevidno p x ker f displaystyle p x in ker f mayemo za oznachennyam b sho b p x 0 displaystyle langle b p x rangle 0 Z linijnosti skalyarnogo dobutku otrimuyemo b x f x f b b 0 b x f x f b b 2 displaystyle left langle b x f x over f b b right rangle 0 langle b x rangle f x over f b b 2 Zvidsi f x b x f b b 2 displaystyle f x langle b x rangle tfrac f b b 2 Nareshti f x y x displaystyle f x langle y x rangle de poznacheno y f b b 2 b displaystyle y tfrac f b b 2 b Yedinist y displaystyle y Pripustimo y displaystyle y i z displaystyle z elementi H displaystyle H Sho zadovolnyayut f x y x z x displaystyle f x langle y x rangle langle z x rangle Dlya vsih x H displaystyle x in H spravdzhuyetsya y z x 0 displaystyle langle y z x rangle 0 zokrema y z y z y z 2 0 displaystyle langle y z y z rangle y z 2 0 zvidki j otrimuyetsya rivnist y z displaystyle y z Rivnist norm Dlya dovedennya y f displaystyle y f spershu z nerivnosti Koshi Bunyakovskogo mayemo f x y x y x displaystyle f x langle y x rangle leq y x Zvidsi zgidno z viznachennyam normi funkcionalu mayemo f y displaystyle f leq y Z inshogo boku f y y y y f displaystyle f y langle y y rangle leq y f zvidki y f displaystyle y leq f Poyednuyuchi dvi nerivnosti oderzhuyemo y f displaystyle y f Div takozhTeorema Laksa MilgramaDzherelaKolmogorov A N Fomin S V Elementy teorii funkcij i funkcionalnogo analiza 4 e izd Moskva Nauka 1976 544 s ISBN 5 9221 0266 4 ros