Теорема Морери

У комплексному аналізі Теорема Морери дає достатні умови аналітичності неперервних комплекснозначних функцій. Названа на честь італійського математика .

Твердження

Якщо функція ${\displaystyle f(z)\,}$ комплексного змінного ${\displaystyle z\,}$ у відкритій області ${\displaystyle D\,}$ неперервна і інтеграл від неї по будь-якому замкнутому ${\displaystyle \Gamma \subset D}$ рівний нулю, тобто

${\displaystyle \int \limits _{\Gamma }\,f(z)\,dz=0}$

то ${\displaystyle f(z)\,}$ — аналітична функція в ${\displaystyle D\,}$.

Умову теореми можна послабити, обмежившись вимогою рівності нулю інтегралів, узятих по контуру довільного трикутника, що належить області ${\displaystyle D\,}$.

Доведення

В доведенні спершу знаходиться первісна для функції ${\displaystyle f\,}$, після чого твердження випливає з факту, що голоморфні функції є аналітичними.

Без втрати загальності можна вважати область ${\displaystyle D\,}$ зв'язаною. Зафіксувавши деяку точку ${\displaystyle a\,}$ в області ${\displaystyle D\,}$, визначимо функцію ${\displaystyle F\,}$ в ${\displaystyle D\,}$ наступною формулою:

${\displaystyle F(b)=\int _{a}^{b}f(z)\,dz.\,}$

Інтеграл може бути взятий по довільній кривій в ${\displaystyle D\,}$ від ${\displaystyle a\,}$ до ${\displaystyle b\,}$. Функція ${\displaystyle F\,}$ є однозначно визначена оскільки з умови теореми випливає рівність інтегралів на усіх кривих від ${\displaystyle a\,}$ до ${\displaystyle b\,}$. Звідси отримуємо, що ${\displaystyle f\,}$ є похідною ${\displaystyle F\,}$  :

${\displaystyle F'(z)=f(z).\,}$

Зокрема ${\displaystyle F\,}$ є голоморфною і, як наслідок, аналітичною. Відповідно ${\displaystyle f\,}$ також є голоморфною і аналітичною.

Застосування

Теорема Морери часто використовується при доведенні аналітичності функцій. Одним з центральних тверджень при цьому є те, що якщо послідовність ${\displaystyle f_{n}\,}$ аналітичних функцій рівномірно сходиться до функції ${\displaystyle f\,}$, то

${\displaystyle \oint \lim _{n\to \infty }f_{n}(z)dz=\lim _{n\to \infty }\oint f_{n}(z)dz=0}$

тому, за теоремою Морери, гранична функція також буде голоморфною. Таким чином доводиться голоморфність багатьох функцій, визначених рядами і інтегралами, наприклад дзета-функції Рімана

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$

і гамма-функції

${\displaystyle \Gamma (\alpha )=\int \limits _{0}^{\infty }t^{\alpha -1}e^{-t}dt}$

Література

1. Грищенко А.О., Нагнибіда М.І., Настасів П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: Вища школа, 1994. — 375 ст.
2. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.
3. Ahlfors, Lars, Complex Analysis, McGraw-Hill,
4. Conway, John B. Functions of One Complex Variable I, Graduate Texts in Mathematics, Springer,
5. Rudin, Walter, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill,
6. Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc.,