Теорема Ліувілля про наближення алгебричних чисел — теорема, яка встановлює, що алгебричні ірраціональності не можуть занадто добре наближатися раціональними числами. А саме: якщо — алгебричне число степеня , а та — будь-які цілі числа , то виконується нерівність
де — додатна константа, що залежить тільки від і виражається в явному вигляді через пов'язані з величини.
За допомогою цієї теореми Ліувілль побудував перші приклади трансцендентних чисел. Таким числом є, наприклад, число, що подається рядом зі швидко спадними членами, наприклад
Узагальнення
При теорема Ліувілля дає непокращуваний результат. Для теорема Ліувілля неодноразово посилювалася.
1909 року встановив, що для алгебричних чисел степеня і виконується нерівність
- (*)
поліпшив результат Туе, показавши, що остання нерівність виконується при
- , де — ціле, зокрема, при . Пізніше Ф. Дайсон довів справедливість цієї нерівності при . Нарешті, К. Рот встановив, що нерівність (*) виконується при будь-якому . Результат К. Рота є найкращим у своєму роді, оскільки будь-яке ірраціональне число , алгебричне чи ні, має нескінченно багато раціональних наближень , що задовольняють нерівності
- .
Всі зазначені вище посилення теореми Ліувілля мають один суттєвий недолік — вони неефективні, а саме: методи їх доведення не дозволяють установити, як саме стала в нерівності залежить від величин і .
Див. також
Посилання
- Michael Filaseta. The Beginning of Numbers Transcendental
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teorema Liuvillya pro nablizhennya algebrichnih chisel teorema yaka vstanovlyuye sho algebrichni irracionalnosti ne mozhut zanadto dobre nablizhatisya racionalnimi chislami A same yaksho a displaystyle alpha algebrichne chislo stepenya n gt 1 displaystyle n gt 1 a p displaystyle p ta q displaystyle q bud yaki cili chisla q 0 displaystyle q neq 0 to vikonuyetsya nerivnist a p q gt C q n displaystyle left alpha frac p q right gt frac C q n de C displaystyle C dodatna konstanta sho zalezhit tilki vid a displaystyle alpha i virazhayetsya v yavnomu viglyadi cherez pov yazani z a displaystyle alpha velichini Za dopomogoyu ciyeyi teoremi Liuvill pobuduvav pershi prikladi transcendentnih chisel Takim chislom ye napriklad chislo sho podayetsya ryadom zi shvidko spadnimi chlenami napriklad 3 n 1 1 2 n displaystyle xi sum n 1 infty frac 1 2 n UzagalnennyaPri n 2 displaystyle n 2 teorema Liuvillya daye nepokrashuvanij rezultat Dlya n 3 displaystyle n geq 3 teorema Liuvillya neodnorazovo posilyuvalasya 1909 roku vstanoviv sho dlya algebrichnih chisel a displaystyle alpha stepenya n displaystyle n i n gt n 2 1 displaystyle nu gt frac n 2 1 vikonuyetsya nerivnist a p q gt C q n displaystyle left alpha frac p q right gt frac C q nu polipshiv rezultat Tue pokazavshi sho ostannya nerivnist vikonuyetsya pri n gt min s 1 2 n 1 n s 1 s displaystyle nu gt min s 1 2 ldots n 1 left frac n s 1 s right de s displaystyle s cile zokrema pri n gt 2 n displaystyle nu gt 2 sqrt n Piznishe F Dajson doviv spravedlivist ciyeyi nerivnosti pri n gt 2 n displaystyle nu gt sqrt 2n Nareshti K Rot vstanoviv sho nerivnist vikonuyetsya pri bud yakomu n gt 2 displaystyle nu gt 2 Rezultat K Rota ye najkrashim u svoyemu rodi oskilki bud yake irracionalne chislo 3 displaystyle xi algebrichne chi ni maye neskinchenno bagato racionalnih nablizhen p q displaystyle p q sho zadovolnyayut nerivnosti 3 p q lt 1 q 2 displaystyle left xi frac p q right lt frac 1 q 2 Vsi zaznacheni vishe posilennya teoremi Liuvillya mayut odin suttyevij nedolik voni neefektivni a same metodi yih dovedennya ne dozvolyayut ustanoviti yak same stala C C a n displaystyle C C alpha nu v nerivnosti zalezhit vid velichin a displaystyle alpha i n displaystyle nu Div takozhChislo Liuvillya Spisok ob yektiv nazvanih na chest Zhozefa LiuvillyaPosilannyaMichael Filaseta The Beginning of Numbers Transcendental