Теоре ма Ка ца Бернште йна є однією з перших Легко бачити що якщо випадкові величини ξ та η незалежні та нормально розпо

Теоре́ма Ка́ца — Бернште́йна є однією з перших . Легко бачити, що якщо випадкові величини ξ та η незалежні та нормально розподілені, то їх сума та різниця також незалежні. Теорема Каца-Бернштейна стверджує, що незалежність суми та різниці двох незалежних випадкових величин характеризує нормальний розподіл (розподіл Ґаусса). Ця теорема була доведена незалежно польсько-американським математиком Марком Кацом та радянським математиком Сергієм Бернштейном.

Формулювання теореми

Нехай ξ та η — незалежні випадкові величини. Якщо ξ+η та ξ-η незалежні, то ξ та η нормально розподілені (мають розподіли Ґаусса).

Узагальнення

Узагальненням теореми Каца-Бернштейна є теорема Скитовича-Дармуа, в якій замість суми та різниці розглядаються лінійні форми від n незалежних випадкових величин.

Література

( )( )(en) Kac M. On a characterization of the normal distribution // Amer. J. Math. — 1939. — 61. — P. 726—728.
( )( )(ru) Бернштейн С. Н. Об одном свойстве, характеризующим закон Гаусса // Труды Ленинградского политехнического института. — 1941. — Т. 217, № 3. — C. 21—22.