Теорема Колмогорова — Арнольда — (або скорочено Теорема КАМ) — результат з теорії динамічних систем про виживання квазіперіодичного руху внаслідок дії збурень. Теорема частково вирішує проблему малих знаменників, яка виникає в теорії збурень класичної механіки.
Історія
Першу відповідь на запитання, чи призводить мале збурення консервативної динамічної системи до усталеної квазіперіодичної орбіти, дав радянський математик Андрій Колмогоров в 1954 році. Дали строгі доведення та розширили проблему Володимир Арнольд (в 1963 для аналітичних гамільтонових систем) та (в 1962 для гладких відображень). Загальний результат трьох математиків став відомим як теорема КАМ.
Формулювання
Теорему КАМ як правило формулюють в термінах траєкторій в фазовому просторі гамільтонової системи. Динаміка інтегровних систем відбувається на так званих (ці тори є інваріантними відносно фазового потоку системи оскільки кожна фазова крива, що починається з деякої точки тора, на цьому торі і залишається). Якщо для динамічної інтегровної системи з N ступенями вільності здійснити канонічне перетворення і перейти до змінних дія-кут , то рівняння руху в цих змінних матиме вигляд
Тут — функція Гамільтона інтегровної системи, змінні дії відповідають радіусам N-вимірного інваріантного тора, а кутові змінні описують рух точки на торі. Таким чином різні початкові умови інтегровної системи призводять до обмотування різних інваріантних торів у фазовому просторі системи. Частоти містять інформацію про характер динаміки системи. Якщо їх можна пов'язати раціональним співвідношенням, то має місце періодичний рух, якщо ж співвідношення частот ірраціональне, то рух квазіперіодичний.
Теорема КАМ стверджує, що якщо система перебуває під впливом слабкого нелінійного збурення,
- ,
де незбурена функція Гамільтона задовільняє умову невиродженості
а параметр збурення є достатньо малим (), то деякі з інваріантних торів деформуються, в той час як інші руйнуються. Виживають ті тори, які мають «достатньо ірраціональні частоти» (це твердження називається умовою нерезонансності), для ця умова має вигляд
де p, q — цілі взаємно прості числа. Це означає що рух залишається квазіперіодичним із зміненими незалежними періодами (як наслідок умови нерезонансності), і траєкторії щільно обмотують тори, що вижили. Кількість зруйнованих торів прямує до нуля при . Важливим наслідком теореми КАМ є той факт, що для великого набору початкових умов рух продовжує бути квазіперіодичним нескінченно довго.
При достатньо великому збурення руйнує всі тори, при чому у частинному випадку N=2 останнім руйнується тор з найбільш іраціональним співвідношенням частот .
Наслідки
Методи, розроблені Колмогоровим, Арнольдом та Мозером переросли у великий обсяг результатів, що зараз носять назву Теорії КАМ. Зокрема їх було розширено на негамільтонові системи та непертурбативні випадки.
Умову нерезонансності та невиродженості теореми КАМ стає дедалі важче задовольнити при збільшенні ступенів вільності системи. При збільшенні розмірності об'єм фазового простору, зайнятий торами, зменшується. При тори, що відповідають різним значенням дій , є вкладеними один в один і не перетинаються. В такому випадку говорять що тори ділять фазовий простір. Зруйновані тори залишаються затисненими між стійкими торами. Тому фазові траєкторії, що знаходяться в області зруйнованих торів, обмежені. Оскільки в -вимірному фазовому просторі поверхня сталої енергії має розмірність , а межі, що ділять її на різні області, мають розмірність , то якщо тори ділять простір, то їхня розмірність повинна задовільняти нерівності , що призводить до умови .
При тори не ділять простір і перетинаються. Частини різних зруйнованих торів утворюють складну мережу каналів у фазовому просторі. Вздовж цих каналів збурена траєкторія може віддалятися від області необмеженого руху нескінченно далеко. Це явище називається .
Посилання
- A. N. Kolmogorov. On the conservation of conditionally periodic motions for a small change in Hamilton's function // Dokl. Akad. Nauk SSSR. — 1954. — Т. 98. — С. 527-530.
- V.I.Arnol'd. Proof of a theorem by A.N. Kolmogorov on the invariance of quasi-periodic motions under small perturbations of the Hamiltonian // Russian Math. Surveys. — 1963. — Т. 18, вип. 5. — С. 9-36. — DOI: . з джерела 12 березня 2022.
- H. G. Schuster; W. Just (2005). Deterministic Chaos (англійська) . Weinheim: Wiley-VCH. ISBN .
{{}}
: Cite має пусті невідомі параметри:|пубрік=
,|посилання=
,|авторлінк=
,|пубдата=
,|главалінк=
та|глава=
()
Література
- Іро Г. Класична механіка. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 1999. — 464 с.
- Заславский Г. М. Гамильтонов хаос и фрактальная динамика. — Ижевск : РХД, 2010. — 472 с.
- Капеллер Т., Пёшль Ю. КдФ и КАМ. — Ижевск : РХД, 2008. — 360 с.
- Мозер Ю. КАМ-теория и проблемы устойчивости. — Ижевск : РХД, 2001. — 448 с.
- де ла Яве Р. Введение в КАМ-теорию. — Ижевск : ИКИ, 2003. — 176 с. англ. оригінал
- Pöschel J. (2001). A lecture on the classical KAM-theorem (PDF). Proceedings of Symposia in Pure Mathematics (AMS). 69: 707—732.
- KAM theory: the legacy of Kolmogorov's 1954 paper
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teorema Kolmogorova Arnolda abo skorocheno Teorema KAM rezultat z teoriyi dinamichnih sistem pro vizhivannya kvaziperiodichnogo ruhu vnaslidok diyi zburen Teorema chastkovo virishuye problemu malih znamennikiv yaka vinikaye v teoriyi zburen klasichnoyi mehaniki IstoriyaPershu vidpovid na zapitannya chi prizvodit male zburennya konservativnoyi dinamichnoyi sistemi do ustalenoyi kvaziperiodichnoyi orbiti dav radyanskij matematik Andrij Kolmogorov v 1954 roci Dali strogi dovedennya ta rozshirili problemu Volodimir Arnold v 1963 dlya analitichnih gamiltonovih sistem ta v 1962 dlya gladkih vidobrazhen Zagalnij rezultat troh matematikiv stav vidomim yak teorema KAM FormulyuvannyaTeoremu KAM yak pravilo formulyuyut v terminah trayektorij v fazovomu prostori gamiltonovoyi sistemi Dinamika integrovnih sistem vidbuvayetsya na tak zvanih ci tori ye invariantnimi vidnosno fazovogo potoku sistemi oskilki kozhna fazova kriva sho pochinayetsya z deyakoyi tochki tora na comu tori i zalishayetsya Yaksho dlya dinamichnoyi integrovnoyi sistemi z N stupenyami vilnosti zdijsniti kanonichne peretvorennya i perejti do zminnih diya kut J n 8 n n 1 2 N displaystyle J n theta n n 1 2 N to rivnyannya ruhu v cih zminnih matime viglyad J n H 0 8 n 0 displaystyle dot J n frac partial H 0 partial theta n 0 8 n H 0 J n w n J 1 J 2 J N n 1 2 N displaystyle dot theta n frac partial H 0 partial J n omega n J 1 J 2 J N n 1 2 N Tut H 0 H 0 J 1 J 2 J N displaystyle H 0 H 0 J 1 J 2 J N funkciya Gamiltona integrovnoyi sistemi zminni diyi J n displaystyle J n vidpovidayut radiusam N vimirnogo invariantnogo tora a kutovi zminni 8 n displaystyle theta n opisuyut ruh tochki na tori Takim chinom rizni pochatkovi umovi integrovnoyi sistemi prizvodyat do obmotuvannya riznih invariantnih toriv u fazovomu prostori sistemi Chastoti 8 n displaystyle theta n mistyat informaciyu pro harakter dinamiki sistemi Yaksho yih mozhna pov yazati racionalnim spivvidnoshennyam to maye misce periodichnij ruh yaksho zh spivvidnoshennya chastot irracionalne to ruh kvaziperiodichnij Teorema KAM stverdzhuye sho yaksho sistema perebuvaye pid vplivom slabkogo nelinijnogo zburennya H J 1 J 2 J N H 0 J 1 J 2 J N e V J 1 J 2 J N 8 1 8 2 8 N displaystyle H left J 1 J 2 J N right H 0 left J 1 J 2 J N right varepsilon V left J 1 J 2 J N theta 1 theta 2 theta N right de nezburena funkciya Gamiltona zadovilnyaye umovu nevirodzhenosti det w n J m det 2 H 0 J m J n 0 m n 1 2 N displaystyle det left left frac partial omega n partial J m right right det left left frac partial 2 H 0 partial J m partial J n right right neq 0 m n 1 2 N a parametr zburennya ye dostatno malim e lt e 0 1 displaystyle varepsilon lt varepsilon 0 ll 1 to deyaki z invariantnih toriv deformuyutsya v toj chas yak inshi rujnuyutsya Vizhivayut ti tori yaki mayut dostatno irracionalni chastoti ce tverdzhennya nazivayetsya umovoyu nerezonansnosti dlya N 2 displaystyle N 2 cya umova maye viglyad w 1 w 2 p q gt k e q 5 2 k e 0 0 displaystyle left frac omega 1 omega 2 frac p q right gt frac k varepsilon q 5 2 k varepsilon rightarrow 0 rightarrow 0 de p q cili vzayemno prosti chisla Ce oznachaye sho ruh zalishayetsya kvaziperiodichnim iz zminenimi nezalezhnimi periodami yak naslidok umovi nerezonansnosti i trayektoriyi shilno obmotuyut tori sho vizhili Kilkist zrujnovanih toriv pryamuye do nulya pri e 0 displaystyle varepsilon to 0 Vazhlivim naslidkom teoremi KAM ye toj fakt sho dlya velikogo naboru pochatkovih umov ruh prodovzhuye buti kvaziperiodichnim neskinchenno dovgo Pri dostatno velikomu e displaystyle varepsilon zburennya rujnuye vsi tori pri chomu u chastinnomu vipadku N 2 ostannim rujnuyetsya tor z najbilsh iracionalnim spivvidnoshennyam chastot w 1 w 2 5 1 2 displaystyle omega 1 omega 2 sqrt 5 1 2 NaslidkiMetodi rozrobleni Kolmogorovim Arnoldom ta Mozerom pererosli u velikij obsyag rezultativ sho zaraz nosyat nazvu Teoriyi KAM Zokrema yih bulo rozshireno na negamiltonovi sistemi ta neperturbativni vipadki Umovu nerezonansnosti ta nevirodzhenosti teoremi KAM staye dedali vazhche zadovolniti pri zbilshenni stupeniv vilnosti sistemi Pri zbilshenni rozmirnosti ob yem fazovogo prostoru zajnyatij torami zmenshuyetsya Pri N 2 displaystyle N 2 tori sho vidpovidayut riznim znachennyam dij J n displaystyle J n ye vkladenimi odin v odin i ne peretinayutsya V takomu vipadku govoryat sho tori dilyat fazovij prostir Zrujnovani tori zalishayutsya zatisnenimi mizh stijkimi torami Tomu fazovi trayektoriyi sho znahodyatsya v oblasti zrujnovanih toriv obmezheni Oskilki v 2 N displaystyle 2N vimirnomu fazovomu prostori poverhnya staloyi energiyi maye rozmirnist 2 N 1 displaystyle 2N 1 a mezhi sho dilyat yiyi na rizni oblasti mayut rozmirnist 2 N 2 displaystyle 2N 2 to yaksho tori dilyat prostir to yihnya rozmirnist povinna zadovilnyati nerivnosti N 2 N 2 displaystyle N geqslant 2N 2 sho prizvodit do umovi N 2 displaystyle N leqslant 2 Pri N gt 2 displaystyle N gt 2 tori ne dilyat prostir i peretinayutsya Chastini riznih zrujnovanih toriv utvoryuyut skladnu merezhu kanaliv u fazovomu prostori Vzdovzh cih kanaliv zburena trayektoriya mozhe viddalyatisya vid oblasti neobmezhenogo ruhu neskinchenno daleko Ce yavishe nazivayetsya PosilannyaA N Kolmogorov On the conservation of conditionally periodic motions for a small change in Hamilton s function Dokl Akad Nauk SSSR 1954 T 98 S 527 530 V I Arnol d Proof of a theorem by A N Kolmogorov on the invariance of quasi periodic motions under small perturbations of the Hamiltonian Russian Math Surveys 1963 T 18 vip 5 S 9 36 DOI 10 1070 RM1963v018n05ABEH004130 z dzherela 12 bereznya 2022 H G Schuster W Just 2005 Deterministic Chaos anglijska Weinheim Wiley VCH ISBN 3 527 40415 5 a href wiki D0 A8 D0 B0 D0 B1 D0 BB D0 BE D0 BD Cite book title Shablon Cite book cite book a Cite maye pusti nevidomi parametri pubrik posilannya avtorlink pubdata glavalink ta glava dovidka LiteraturaIro G Klasichna mehanika L LNU im Ivana Franka 1999 464 s Zaslavskij G M Gamiltonov haos i fraktalnaya dinamika Izhevsk RHD 2010 472 s Kapeller T Pyoshl Yu KdF i KAM Izhevsk RHD 2008 360 s Mozer Yu KAM teoriya i problemy ustojchivosti Izhevsk RHD 2001 448 s de la Yave R Vvedenie v KAM teoriyu Izhevsk IKI 2003 176 s angl original Poschel J 2001 A lecture on the classical KAM theorem PDF Proceedings of Symposia in Pure Mathematics AMS 69 707 732 KAM theory the legacy of Kolmogorov s 1954 paper