Теорема Дворецького

Теоре́ма Дворе́цького — стверджує, що кожна центрально-симетрична опукла множина досить високої розмірності має перетин, близький до еліпсоїда.

Довів на початку 1960-х років Ар'я Дворецький як відповідь на питання Александра Гротендіка. У 1970-х роках Віталій Мільман знайшов альтернативне доведення, яке стало однією з початкових точок для розвитку принципу концентрації міри та .

Формулювання

Для будь-якого натурального числа ${\displaystyle k}$ і кожного ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує таке натуральне число ${\displaystyle K}$, що якщо ${\displaystyle (X,\|{*}\|)}$ — нормований простір розмірності ${\displaystyle K}$, то існує підпростір ${\displaystyle E\subset X}$ розмірності ${\displaystyle k}$ та додатна квадратична форма ${\displaystyle Q}$ на ${\displaystyle E}$, така, що:

${\displaystyle \|x\|\leqslant {\sqrt {Q(x)}}\leqslant (1+\varepsilon )\cdot \|x\|}$

для будь-якого ${\displaystyle x\in E}$.

Примітки

1. Dvoretzky, A. Some results on convex bodies and Banach spaces // Proc. Internat. Sympos. Linear Spaces (Jerusalem, 1960). — Jerusalem : Jerusalem Academic Press, 1961. — С. 123—160.
2. В. Д. Мильман. Новое доказательство теоремы А. Дворецкого о сечениях выпуклых тел // . — 1971. — Т. 5, № 4.
3. Gowers, W. T. The two cultures of mathematics // Mathematics: frontiers and perspectives. — Providence, RI : Amer. Math. Soc, 2000. — С. 65—78. — .