Теорема Гільберта про базис

Теоре́ма Гі́льберта про ба́зис — одна з основних теорем теорії кілець Нетер: якщо ${\displaystyle R\,}$ — кільце Нетер, то кільце многочленів R[x] також є кільцем Нетер.

Доведення

Нехай ${\displaystyle F\,}$ — ідеал в ${\displaystyle R[x]\,}$ (ми тут вважатимемо ${\displaystyle R\,}$ комутативним, для некомутативних кілець доведення зберігається, необхідно лише вважати всі ідеали лівими), а ${\displaystyle p\,}$ множина старших коефіцієнтів многочленів, його складових. Доведемо, що ${\displaystyle p\,}$ — ідеал.

Справді, якщо ${\displaystyle a\,}$ і ${\displaystyle b\,}$ — елементи ${\displaystyle p\,}$, то ${\displaystyle a\,}$ і ${\displaystyle b\,}$ є старшими коефіцієнтами деяких многочленів з ${\displaystyle F\,}$ — ${\displaystyle f(x)=ax^{n}+...}$ і ${\displaystyle g(x)=bx^{m}+...}$. Якщо, наприклад, ${\displaystyle m\geq n}$, то ${\displaystyle a+b\,}$ є старшим коефіцієнтом многочлена ${\displaystyle x^{m-n}f(x)+g(x)\in F}$. Якщо ${\displaystyle a\,}$ є старшим коефіцієнтом${\displaystyle f(x)\,}$ то ${\displaystyle ar\,}$ є старшим коефіцієнтом ${\displaystyle rf(x)\in F}$ для будь-якого елементу ${\displaystyle r\,}$. Таким чином,${\displaystyle p\,}$ — ідеал, а оскільки ${\displaystyle R\,}$ — кільце Нетер, то ${\displaystyle p\,}$ породжується деякими елементами ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}\,}$, старшими коефіцієнтами многочленів ${\displaystyle f_{1},f_{2},...,f_{n}\in F}$. Нехай найбільший степінь цих многочленів рівний ${\displaystyle r\,}$. Можна вважати, що степінь кожного з цих многочленів рівний ${\displaystyle r\,}$ (якщо він рівний ${\displaystyle m\leq r}$, то можна зробити його таким помноживши на ${\displaystyle x^{r-m}}$.

Аналогічно доводиться, що ${\displaystyle p_{k}}$ — множина старших коефіцієнтів многочленів з ${\displaystyle F\,}$, степінь яких ${\displaystyle k\leq r}$ (до цієї множини доданий 0 кільця) є ідеалом, і тому ідеалом, породженим елементами ${\displaystyle a_{k1},a_{k2},...,a_{kn_{k}}\,}$. Нехай вони є старшими коефіцієнтами многочленів ${\displaystyle f_{k1},f_{k2},...,f_{kn_{k}}\in F}$ степеня ${\displaystyle k\,}$

Доведемо, що ці многочлени ${\displaystyle f_{1},f_{2},...,f_{n},f_{11},f_{12},...,f_{1n_{1}},\ldots ,f_{r-1,1},f_{r-1,2},...,f_{r-1,n_{r-1}}\in F}$ породжують ідеал ${\displaystyle F\,}$. Нехай${\displaystyle f(x)=ax^{s}+...\,}$ — який-небудь многочлен ідеалу ${\displaystyle F\,}$, за визначенням ${\displaystyle a\in p}$. Якщо його степінь ${\displaystyle s\geq r}$ то оскільки ${\displaystyle a\,}$ по доведеному є лінійною комбінацією ${\displaystyle a=r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2}+...+r_{n}a_{n}\,}$ старших членів многочленів ${\displaystyle f_{1},f_{2},...,f_{n}\in F}$ степеня ${\displaystyle r\,}$, то ми одержимо, що ${\displaystyle f(x)-r_{1}x^{s-r}f_{1}+r_{2}x^{s-r}f_{2}+...+r_{n}x^{s-r}f_{n}}$ буде многочленом степеня, меншого, ніж ${\displaystyle s\,}$, що також належить ідеалу ${\displaystyle F\,}$. Повторюючи при необхідності цю операцію кілька разів, можна дійти до многочлена степеня не більшого ${\displaystyle r\,}$.

Для многочлена степеня ${\displaystyle k\leq r}$ застосовується та ж процедура, але з використанням многочленів ${\displaystyle f_{k1},f_{k2},...,f_{kn_{k}}\in F}$ старші коефіцієнти яких породжують ідеал ${\displaystyle p_{k}\,}$. Далі процедура повторюється, поки ми не дійдемо до нульового многочлена.

Література

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — .(рос.)
• Зарисский О., Коммутативная алгебра. — Москва : , 1963. — Т. 1. — 373 с.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — .(рос.)