Складано-ножева перевибірка

У статистиці склада́но-ножева́ переви́бірка (англ. jackknife) — це методика ^[en], особливо корисна для оцінки дисперсії та зсуву. Складано-ножевий метод передував іншим звичним методам перевибірки, таким як натяжковий. Складано-ножеву оцінку параметра знаходять послідовним винятком кожного зі спостережень з набору даних і обчисленням оцінки без нього, з наступним усередненням всіх таких оцінок. Для заданої вибірки розміру ${\displaystyle N}$ складано-ножеву оцінку знаходять обчисленням середнього значення всіх підвибірок розміру ${\displaystyle N-1}$.

Складано-ножеву методику розробив Моріс Кенуй (фр. Maurice Quenouille) у 1949 та 1956 роках. Джон Тьюкі 1958 року розширив цю методику та запропонував назву «складано-ножева» (англ. jackknife), оскільки, як і реальний складаний ніж, вона є простим та доступним інструментом, який може зімпровізувати розв'язок для широкого ряду задач, хоча конкретні задачі й може бути розв'язано ефективніше за допомогою інструментів, розроблених спеціально для них.

Складано-ножева перевибірка є лінійним наближенням натяжкової.

Оцінка

Складано-ножеву оцінку параметра для знаходження його попередньо невідомого значення (скажімо, ${\displaystyle {\bar {x}}_{i}}$) можна знаходити оцінкою цього параметра для кожної з підвибірок за винятком i-того спостереження.

${\displaystyle {\bar {x}}_{i}={\frac {1}{n-1}}\sum _{j\neq i}^{n}x_{j}}$

Оцінка дисперсії

Із застосуванням складано-ножевої методики можна обчислювати оцінку дисперсії оцінки параметра.

${\displaystyle \operatorname {Var} _{\mathrm {(jackknife)} }={\frac {n-1}{n}}\sum _{i=1}^{n}({\bar {x}}_{i}-{\bar {x}}_{\mathrm {(.)} })^{2}}$

де ${\displaystyle {\bar {x}}_{i}}$ є оцінкою параметра на основі виключення i-того спостереження, а ${\displaystyle {\bar {x}}_{\mathrm {(.)} }={\frac {1}{n}}\sum _{i}^{n}{\bar {x}}_{i}}$ є оцінкою на основі усіх підвибірок.

Оцінка та виправлення зсуву

Складано-ножеву методику можна застосовувати для оцінювання зсуву оцінки, розрахованої над усією вибіркою. Скажімо, ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$ є обчисленою оцінкою досліджуваного параметра на основі всіх ${\displaystyle {n}}$ спостережень. Нехай

${\displaystyle {\hat {\theta }}_{\mathrm {(.)} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\hat {\theta }}_{\mathrm {(i)} }}$

де ${\displaystyle {\hat {\theta }}_{\mathrm {(i)} }}$ є досліджуваною оцінкою на основі вибірки з усуненим i-тим спостереженням, а ${\displaystyle {\hat {\theta }}_{\mathrm {(.)} }}$ є усередненням цих оцінок «за виключенням одного». Складано-ножева оцінка зсуву оцінки ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$ задається як

${\displaystyle {\widehat {\text{Bias}}}_{\mathrm {(\theta )} }=(n-1)({\hat {\theta }}_{\mathrm {(.)} }-{\hat {\theta }})}$

а результатна складано-ножева оцінка ${\displaystyle \theta }$ з виправленим зсувом задається як

${\displaystyle {\hat {\theta }}_{\text{Jack}}=n{\hat {\theta }}-(n-1){\hat {\theta }}_{\mathrm {(.)} }}$

Це усуває зсув в особливому випадку, коли зсув є ${\displaystyle O(N^{-1})}$, і до ${\displaystyle O(N^{-2})}$ в інших випадках.

Це забезпечує оцінку виправлення зсуву, спричиненого методом оцінки. Зсунуту вибірку складано-ножева методика не виправляє.

Примітки

1. Cameron та Trivedi, 2005, с. 375.
2. Efron, 1982, с. 2.
3. Efron, 1982, с. 14.
4. McIntosh, Avery I. (PDF). Boston University. Avery I. McIntosh. Архів оригіналу (PDF) за 14 травня 2016. Процитовано 30 квітня 2016. (англ.)

Література

• Cameron, Adrian; Trivedi, Pravin K. (2005). Microeconometrics : methods and applications. Cambridge New York: Cambridge University Press. ISBN . (англ.)
• ; (May 1981). The Jackknife Estimate of Variance. The Annals of Statistics. 9 (3): 586—596. doi:10.1214/aos/1176345462. JSTOR 2240822. (англ.)
• Efron, Bradley (1982). The jackknife, the bootstrap, and other resampling plans. Philadelphia, Pa: Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN . (англ.)
• Quenouille, M. H. (September 1949). Problems in Plane Sampling. The Annals of Mathematical Statistics. 20 (3): 355—375. doi:10.1214/aoms/1177729989. JSTOR 2236533. (англ.)
• Quenouille, M. H. (1956). Notes on Bias in Estimation. Biometrika. 43 (3-4): 353—360. doi:10.1093/biomet/43.3-4.353. JSTOR 2332914. (англ.)
• Tukey, J. W. (1958). Bias and confidence in not quite large samples. The Annals of Mathematical Statistics. 29: 614—623. doi:10.1214/aoms/1177706647.. (англ.)
• Орлов А.И. (2004). Прикладная статистика. Издательство «Экзамен». (рос.)
• Шитиков, В.К.; Розенберг, Г.С. (2013). Рандомизация и бутстреп. Статистический анализ в биологии и экологии с использованием R. Исправленная и дополненная интернет-версия от 15.11.2013 (PDF). г. Тольятти: Издательство «Кассандра». с. 15—17. (рос.)
• Эфрон, Б. (1988). Нетрадиционные методы многомерного статистического анализа. Москва: "Финансы и статистика". с. 50—51. (рос.)