Рівняння Фоккера — Планка

Рівня́ння Фо́ккера — Пла́нка — диференціальне рівняння в частинних похідних, що описує еволюцію функції розподілу випадкової величини.

Розпливання функції розподілу з часом

Для одновимірної випадкової величини рівняння Фоккера — Планка має загальний вигляд

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial t}}=\left[-{\frac {\partial }{\partial x}}D^{(1)}(x)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}D^{(2)}(x)\right]P}$,

де ${\displaystyle P(x,t)}$ — функція розподілу випадкової величини, ${\displaystyle D^{(1)}(x)}$ називається дрейфовим коефіцієнтом, а ${\displaystyle D^{(2)}(x)}$ — дифузійним коефіцієнтом.

Наприклад, у випадку броунівського руху вздовж прямої рівняння Фоккера — Планка для функції розподілу частинок за швидкостями має вигляд:

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial t}}=-\gamma {\frac {\partial (vP)}{\partial v}}+\gamma {\frac {k_{B}T}{m}}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial v^{2}}}}$,

де ${\displaystyle v}$ — швидкість броунівської частки, ${\displaystyle m}$ — її маса, ${\displaystyle k_{B}}$ — стала Больцмана, T — температура, ${\displaystyle \gamma }$ — коефіцієнт в'язкості, розділений на масу частки.

Дифузійний і дрейфовий коефіцієнти можна отримати, розглядаючи відповідне рівняння Ланжевена.

Див. також

• Рівняння Смолуховського

Література

• Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках. — М. : Мир, 1986. — 528 с.
• ван Кампен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии. — М. : Высшая школа, 1990. — 376 с.
• Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений. — М. : Мир, 1974. — 37 с.
• Хакен Г. Синергетика. — М. : Мир, 1980. — 406 с.
• Risken H. The Fokker-Planck Equation. — Berlin : Springer-Verlag, 1984.

Примітки

1. Термін функція розподілу тут вживається в фізичному сенсі, що відповідає густині функції розподілу в математиці