Поліноміальна теорема - це узагальнення бінома Ньютона:
Числа називаються поліноміальними (мультиноміальними) коефіцієнтами. Їх визначено для всіх цілих невід’ємних чисел і таких, що :
- .
Біноміальний коефіцієнт для невід’ємних є частковим випадком мультиноміального коефіцієнта (для ), а саме
- .
В комбінаторному сенсі мультиноміальний коефіцієнт дорівнює числу впорядкованих розбиттів -елементарної множини на підмножини потужностей .
Альтернативне формулювання
Формулювання теореми можна записати в стислій формі використовуючи мультиіндекси:
де α = (α1,α2,…,αm) and xα = x1α1x2α2⋯xmαm.
Доведення
Це доведення теореми з використанням біному Ньютона і математичної індукції по m.
Спочатку для m = 1, дві сторони рівності рівні x1n так як існує тільки один член k1 = n в сумі. Для кроку індукції, припустимо що поліноміальна теорема вірна для т.
Потім
ідучи за припущенням індукції. Застосовуючи біном до останнього фактору,
який завершує індукцію. Останній крок випливає з цього:
в цьому легко переконатися записавши три коефіцієнти з використанням факторіалів наступним чином:
Властивості
Узагальнений трикутник Паскаля
Можна використовувати поліноміальну теорему для узагальнення трикутника Паскаля або до . Це забезпечує швидкий спосіб створення таблиці підстановки для поліноміальних коефіцієнтів.
Див. також
Посилання
- Карнаух Т.О. Комбінаторика[недоступне посилання з липня 2019]
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Polinomialna teorema ce uzagalnennya binoma Nyutona x 1 x 2 x m n k 1 k 2 k m n n k 1 k 2 k m x 1 k 1 x 2 k 2 x m k m displaystyle x 1 x 2 dots x m n sum k 1 k 2 dots k m n n choose k 1 k 2 dots k m x 1 k 1 x 2 k 2 dots x m k m Chisla n k 1 k 2 k m displaystyle n choose k 1 k 2 dots k m nazivayutsya polinomialnimi multinomialnimi koeficiyentami Yih viznacheno dlya vsih cilih nevid yemnih chisel n displaystyle n i k 1 k 2 k m displaystyle k 1 k 2 dots k m takih sho k 1 k 2 k m n displaystyle k 1 k 2 dots k m n n k 1 k 2 k m n k 1 k 2 k m displaystyle n choose k 1 k 2 dots k m frac n k 1 k 2 dots k m n k 1 k 2 k m n k 1 k 2 k m k 1 k 1 k 1 k 2 k 2 k 1 k 2 k m k m displaystyle n choose k 1 k 2 ldots k m frac n k 1 k 2 cdots k m k 1 choose k 1 k 1 k 2 choose k 2 cdots k 1 k 2 cdots k m choose k m Binomialnij koeficiyent n k displaystyle n choose k dlya nevid yemnih n k displaystyle n k ye chastkovim vipadkom multinomialnogo koeficiyenta dlya m 2 displaystyle m 2 a same n k n k n k displaystyle n choose k n choose k n k V kombinatornomu sensi multinomialnij koeficiyent n k 1 k 2 k m displaystyle n choose k 1 k 2 dots k m dorivnyuye chislu vporyadkovanih rozbittiv n displaystyle n elementarnoyi mnozhini na m displaystyle m pidmnozhini potuzhnostej k 1 k 2 k m displaystyle k 1 k 2 dots k m Alternativne formulyuvannyaFormulyuvannya teoremi mozhna zapisati v stislij formi vikoristovuyuchi multiindeksi x 1 x m n a n n a x a displaystyle x 1 cdots x m n sum alpha n n choose alpha x alpha de a a1 a2 am and xa x1a1x2a2 xmam DovedennyaCe dovedennya teoremi z vikoristannyam binomu Nyutona i matematichnoyi indukciyi po m Spochatku dlya m 1 dvi storoni rivnosti rivni x1n tak yak isnuye tilki odin chlen k1 n v sumi Dlya kroku indukciyi pripustimo sho polinomialna teorema virna dlya t Potim x 1 x 2 x m x m 1 n x 1 x 2 x m x m 1 n displaystyle x 1 x 2 cdots x m x m 1 n x 1 x 2 cdots x m x m 1 n k 1 k 2 k m 1 K n n k 1 k 2 k m 1 K x 1 k 1 x 2 k 2 x m 1 k m 1 x m x m 1 K displaystyle sum k 1 k 2 cdots k m 1 K n n choose k 1 k 2 ldots k m 1 K x 1 k 1 x 2 k 2 cdots x m 1 k m 1 x m x m 1 K iduchi za pripushennyam indukciyi Zastosovuyuchi binom do ostannogo faktoru k 1 k 2 k m 1 K n n k 1 k 2 k m 1 K x 1 k 1 x 2 k 2 x m 1 k m 1 k m k m 1 K K k m k m 1 x m k m x m 1 k m 1 displaystyle sum k 1 k 2 cdots k m 1 K n n choose k 1 k 2 ldots k m 1 K x 1 k 1 x 2 k 2 cdots x m 1 k m 1 sum k m k m 1 K K choose k m k m 1 x m k m x m 1 k m 1 k 1 k 2 k m 1 k m k m 1 n n k 1 k 2 k m 1 k m k m 1 x 1 k 1 x 2 k 2 x m 1 k m 1 x m k m x m 1 k m 1 displaystyle sum k 1 k 2 cdots k m 1 k m k m 1 n n choose k 1 k 2 ldots k m 1 k m k m 1 x 1 k 1 x 2 k 2 cdots x m 1 k m 1 x m k m x m 1 k m 1 yakij zavershuye indukciyu Ostannij krok viplivaye z cogo n k 1 k 2 k m 1 K K k m k m 1 n k 1 k 2 k m 1 k m k m 1 displaystyle n choose k 1 k 2 ldots k m 1 K K choose k m k m 1 n choose k 1 k 2 ldots k m 1 k m k m 1 v comu legko perekonatisya zapisavshi tri koeficiyenti z vikoristannyam faktorialiv nastupnim chinom n k 1 k 2 k m 1 K K k m k m 1 n k 1 k 2 k m 1 displaystyle frac n k 1 k 2 cdots k m 1 K frac K k m k m 1 frac n k 1 k 2 cdots k m 1 Vlastivosti k 1 k 2 k m n n k 1 k 2 k m m n displaystyle sum k 1 k 2 dots k m n n choose k 1 k 2 dots k m m n Uzagalnenij trikutnik PaskalyaMozhna vikoristovuvati polinomialnu teoremu dlya uzagalnennya trikutnika Paskalya abo do Ce zabezpechuye shvidkij sposib stvorennya tablici pidstanovki dlya polinomialnih koeficiyentiv Div takozhMultinomialnij rozpodilPosilannyaKarnauh T O Kombinatorika nedostupne posilannya z lipnya 2019