Поліноми Лаґерра — ортогональні поліноми, названі на честь французького математика Едмона Лаґерра.
Визначення
Поліномами Лаґерра називаються канонічні розв'язки диференційного рівняння
що є лінійним диференційним рівнянням другого порядку і має несингулярний розв'язок лише для невід'ємних цілих n. Для даних поліномів справедлива також явна :
Поліноми Лаґерра можна задати рекурсивно. Для цього слід взяти:
і визначити наступні поліноми за допомогою формули:
Приклади
Прикладами поліномів Лаґерра найменших степенів є:
n | |
0 | |
1 | |
2 | |
3 | |
4 | |
5 | |
6 |
Узагальнені поліноми Лаґерра
Узагальненими поліномами Лаґерра називаються поліноми визначені за допомогою узагальненої формули Родрігеса:
Тоді звичайні поліноми Лаґерра є окремим випадком:
Узагальнений поліном Леґерра степеня також можна визначити за допомогою формули
Також виконуються рекурентні співвідношення:
Зокрема
- і , або
Приклади
Прикладами узагальнених поліномів Лаґерра найменших степенів є:
Ортогональність
Узагальнені поліноми Лаґерра є ортогональними на проміжку [0, ∞) з вагою xα e −x:
Для звичайних поліномів Лаґерра виконується рівність:
Література
- Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "Chapter 22", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, .
- B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 10 deals with Laguerre polynomials.
- Eric W. Weisstein, "Laguerre Polynomial [ 25 лютого 2010 у Wayback Machine.]", From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
- George Arfken and Hans Weber (2000). Mathematical Methods for Physicists. Academic Press. ISBN .
- S. S. Bayin (2006), Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapter 3.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Polinomi Lagerra ortogonalni polinomi nazvani na chest francuzkogo matematika Edmona Lagerra ViznachennyaPolinomami Lagerra nazivayutsya kanonichni rozv yazki diferencijnogo rivnyannya x y 1 x y n y 0 displaystyle x y 1 x y n y 0 sho ye linijnim diferencijnim rivnyannyam drugogo poryadku i maye nesingulyarnij rozv yazok lishe dlya nevid yemnih cilih n Dlya danih polinomiv spravedliva takozh yavna L n x e x n d n d x n e x x n displaystyle L n x frac e x n frac d n dx n left e x x n right Polinomi Lagerra mozhna zadati rekursivno Dlya cogo slid vzyati L 0 x 1 displaystyle L 0 x 1 L 1 x 1 x displaystyle L 1 x 1 x i viznachiti nastupni polinomi za dopomogoyu formuli L k 1 x 1 k 1 2 k 1 x L k x k L k 1 x displaystyle L k 1 x frac 1 k 1 left 2k 1 x L k x kL k 1 x right PrikladiPrikladami polinomiv Lagerra najmenshih stepeniv ye n L n x displaystyle L n x 0 1 displaystyle 1 1 x 1 displaystyle x 1 2 1 2 x 2 4 x 2 displaystyle scriptstyle frac 1 2 x 2 4x 2 3 1 6 x 3 9 x 2 18 x 6 displaystyle scriptstyle frac 1 6 x 3 9x 2 18x 6 4 1 24 x 4 16 x 3 72 x 2 96 x 24 displaystyle scriptstyle frac 1 24 x 4 16x 3 72x 2 96x 24 5 1 120 x 5 25 x 4 200 x 3 600 x 2 600 x 120 displaystyle scriptstyle frac 1 120 x 5 25x 4 200x 3 600x 2 600x 120 6 1 720 x 6 36 x 5 450 x 4 2400 x 3 5400 x 2 4320 x 720 displaystyle scriptstyle frac 1 720 x 6 36x 5 450x 4 2400x 3 5400x 2 4320x 720 Grafiki polinomiv Lagerra Uzagalneni polinomi LagerraUzagalnenimi polinomami Lagerra nazivayutsya polinomi viznacheni za dopomogoyu uzagalnenoyi formuli Rodrigesa f x x a e x G 1 a if x gt 0 0 if x lt 0 displaystyle f x left begin matrix x alpha e x Gamma 1 alpha amp mbox if x gt 0 0 amp mbox if x lt 0 end matrix right Todi zvichajni polinomi Lagerra ye okremim vipadkom E L n X L m X 0 whenever n m displaystyle E left L n X L m X right 0 mbox whenever n neq m Uzagalnenij polinom Legerra stepenya n displaystyle n takozh mozhna viznachiti za dopomogoyu formuli L n a x i 0 n 1 i n a n i x i i displaystyle L n alpha x sum i 0 n 1 i n alpha choose n i frac x i i Takozh vikonuyutsya rekurentni spivvidnoshennya L n a b 1 x y i 0 n L i a x L n i b y displaystyle L n alpha beta 1 x y sum i 0 n L i alpha x L n i beta y Zokrema L n a 1 x i 0 n L i a x displaystyle L n alpha 1 x sum i 0 n L i alpha x i L n a x i 0 n a b n i 1 n i L i b x displaystyle L n alpha x sum i 0 n alpha beta n i 1 choose n i L i beta x abo L n a x i 0 n a b n n i L i b i x displaystyle L n alpha x sum i 0 n alpha beta n choose n i L i beta i x Prikladi Prikladami uzagalnenih polinomiv Lagerra najmenshih stepeniv ye L 0 a x 1 displaystyle L 0 alpha x 1 L 1 a x x a 1 displaystyle L 1 alpha x x alpha 1 L 2 a x x 2 2 a 2 x a 2 a 1 2 displaystyle L 2 alpha x frac x 2 2 alpha 2 x frac alpha 2 alpha 1 2 L 3 a x x 3 6 a 3 x 2 2 a 2 a 3 x 2 a 1 a 2 a 3 6 displaystyle L 3 alpha x frac x 3 6 frac alpha 3 x 2 2 frac alpha 2 alpha 3 x 2 frac alpha 1 alpha 2 alpha 3 6 OrtogonalnistUzagalneni polinomi Lagerra ye ortogonalnimi na promizhku 0 z vagoyu xa e x 0 x a e x L n a x L m a x d x G n a 1 n d n m displaystyle int 0 infty x alpha e x L n alpha x L m alpha x dx frac Gamma n alpha 1 n delta n m Dlya zvichajnih polinomiv Lagerra vikonuyetsya rivnist f g 0 f x g x e x d x displaystyle langle f g rangle int 0 infty f x g x e x dx LiteraturaAbramowitz Milton Stegun Irene A eds 1965 Chapter 22 Handbook of Mathematical Functions with Formulas Graphs and Mathematical Tables New York Dover ISBN 0 486 61272 4 B Spain M G Smith Functions of mathematical physics Van Nostrand Reinhold Company London 1970 Chapter 10 deals with Laguerre polynomials Eric W Weisstein Laguerre Polynomial 25 lyutogo 2010 u Wayback Machine From MathWorld A Wolfram Web Resource George Arfken and Hans Weber 2000 Mathematical Methods for Physicists Academic Press ISBN 0 12 059825 6 S S Bayin 2006 Mathematical Methods in Science and Engineering Wiley Chapter 3