Ознака розбіжності ряду

Границя доданків ряду — для ряду ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ можна побудувати послідовність ${\displaystyle \{a_{k}\}}$ із його доданків і пошукати її границю.

• Існування нульової границі цієї послідовності ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$ є простою необхідною умовою збіжності ряду.
• Існування ненульової границі є ознакою (достатньою умовою) розбіжності ряду.

Доведення

Припустимо, що ряд збігається. За визначенням збіжності ряду послідовність ${\displaystyle s_{k}=\sum _{i=1}^{k}a_{i}}$, а отже, і послідовність ${\displaystyle (s_{k+1})}$ збігаються до деякої спільної скінченної границі ${\displaystyle s}$. Але ${\displaystyle (a_{k+1})=\,(s_{k+1})-\,(s_{k})}$ і з властивостей границі послідовності ${\displaystyle (a_{k+1}){\xrightarrow {\,}}s-s=0}$, тобто послідовність ${\displaystyle (a_{k})}$ збігається до нуля.

Зауваження

Дана ознака є тільки достатньою, але не необхідною умовою розбіжності, тобто з того, що ${\displaystyle (a_{k})}$ збігається до нуля не випливає збіжність ряду.

Так, гармонічний ряд ${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+...+{\frac {1}{n}}+...}$ є розбіжним, хоча його доданки прямують до нуля.

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)