Обмежений оператор

Оператор ${\displaystyle A:X\to Y}$ між двома топологічними векторними просторами називається обмеженим, якщо кожну обмежену множину топологічного векторного простору ${\displaystyle X}$ він переводить в обмежену множину топологічного векторного простору ${\displaystyle Y}$.

Дане означення можна застосовувати до лінійних і нелінійних операторів. Будь-який неперервний оператор є обмеженим.

Лінійний обмежений оператор

Для лінійного оператора часто наводять інші означення:

• Лінійний оператор ${\displaystyle A:X\to Y}$ називається обмеженим, якщо існує такий окіл нуля ${\displaystyle U}$, що ${\displaystyle A(U)}$ є обмеженою множиною в ${\displaystyle Y}$.
• Лінійний оператор ${\displaystyle A:X\to Y}$ між нормованими просторами називається обмеженим, якщо існує таке додатне число ${\displaystyle C}$, що ${\displaystyle \|Ax\|\leq C\|x\|}$. Найменше з таких чисел ${\displaystyle C}$ позначають через ${\displaystyle \|A\|}$ і називають нормою оператора ${\displaystyle A}$. Іншими словами,

${\displaystyle \|A\|=\sup _{\|x\|=1}{\|Ax\|}}$

Зв'язок між обмеженістю і неперервністю

• Справедливою є теорема про те, що лінійний обмежений оператор, який діє із одного F-простору в інший є неперервним. Також це твердження буде справедливим для лінійного оператора ${\displaystyle A:X\to Y}$ із борнологічного простору ${\displaystyle X}$ у локально опуклий простір ${\displaystyle Y}$.
• Навпаки, будь-який неперервний оператор є обмеженим. Таким чином

Див. також

• Лінійний неперервний оператор

Примітки

1. Математическая энциклопедия. — Москва : Сов. энциклопедия, 1977. — Т. 3.
2. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. — Москва : ИЛ, 1962. — Т. 1. Общая теория. — С. 66-67.