Нерівність Ердеша-Морделла — наступна нерівність:
Якщо точка всередині трикутника , а основи перпендикулярів опущених з точки на сторони відповідно, то
Про нерівність
Нерівність вперше була сформульована Палом Ердешем у журналі American Mathematical Monthly у 1935 році і у цьому ж році була доведена Морделлом. Найвідоміші доведення - це доведення Андже Авеза через теорему птолемея, Леона Банко через подібність трикутників і обрахунок кутів, Вілмоса Коморніка через площі, а також Луіса Морделла із використанням тригонометрії.
Доведення
Для початку доведемо нерівність (єдина різниця між доведеннями перечисленими вище є, як вони доводять цю нерівність). Наведемо класичне доведення цієї нерівності.
Застосувавши теорему синусів, до нерівності отримаємо,
остання нерівність негайно слідує, з того, що величина проєкції відрізку на пряму не перевищуватиме величину самого відрізка.
Аналогічно можна довести, що та , додавши три нерівності і застосувавши між нерівність Коші, для двох елементів отримаємо
Схожі нерівності
Часто на пропонують нерівності, які схожі на нерівність Ердеша Морделла тобто теж пов'язують величини
Зокрема нерівність, що була доведена Луісом Морделлом у 1962:
Такі нерівності часто доводять використовуючи, що
- і
Класичні нерівності в трикутнику
Перша нерівність була доведена нами раніше, доведемо другу.
Нехай основи перпендикулярів опущених, з вершин на сторони . — площа трикутника.
Зауважимо, що і отримавши з останнього і поклавши його в перше отримаємо
Джерела
- Kiran S. Kedlaya (version of 17 Jan 2006). (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 8 червня 2011. Процитовано 29 жовтня 2010.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Nerivnist Erdesha Mordella nastupna nerivnist Yaksho P displaystyle P tochka vseredini trikutnika A B C displaystyle ABC a X Y Z displaystyle X Y Z osnovi perpendikulyariv opushenih z tochki P displaystyle P na storoni B C A C A B displaystyle BC AC AB vidpovidno to A P B P C P 2 P X P Y P Z displaystyle AP BP CP geq 2 PX PY PZ Pro nerivnistNerivnist vpershe bula sformulovana Palom Erdeshem u zhurnali American Mathematical Monthly u 1935 roci i u comu zh roci bula dovedena Mordellom Najvidomishi dovedennya ce dovedennya Andzhe Aveza cherez teoremu ptolemeya Leona Banko cherez podibnist trikutnikiv i obrahunok kutiv Vilmosa Komornika cherez ploshi a takozh Luisa Mordella iz vikoristannyam trigonometriyi DovedennyaDlya pochatku dovedemo nerivnist A P A B B C P Y A C B C P Z displaystyle AP geq dfrac AB BC PY dfrac AC BC PZ yedina riznicya mizh dovedennyami perechislenimi vishe ye yak voni dovodyat cyu nerivnist Navedemo klasichne dovedennya ciyeyi nerivnosti Zastosuvavshi teoremu sinusiv do nerivnosti A P A B B C P Y A C B C P Z displaystyle AP geq dfrac AB BC PY dfrac AC BC PZ otrimayemo A P sin a P Y sin g P Z sin b displaystyle AP sin alpha geq PY sin gamma PZ sin beta ostannya nerivnist negajno sliduye z togo sho velichina proyekciyi vidrizku Y Z displaystyle YZ na pryamu B C displaystyle BC ne perevishuvatime velichinu samogo vidrizka Analogichno mozhna dovesti sho B P A B A C P X B C A C P Z displaystyle BP geq dfrac AB AC PX dfrac BC AC PZ ta C P A C A B P X B C A B P Y displaystyle CP geq dfrac AC AB PX dfrac BC AB PY dodavshi tri nerivnosti i zastosuvavshi mizh nerivnist Koshi dlya dvoh elementiv otrimayemo A P B P C P 2 P X A B A C A C A B P Y A B B C B C A B P Z B C A C A C B C 2 A B B C A C displaystyle begin aligned AP BP CP amp geq 2 left PX left dfrac AB AC dfrac AC AB right PY left dfrac AB BC dfrac BC AB right PZ left dfrac BC AC dfrac AC BC right right amp geq 2 AB BC AC end aligned Shozhi nerivnostiChasto na proponuyut nerivnosti yaki shozhi na nerivnist Erdesha Mordella tobto tezh pov yazuyut velichini P X P Y P Z A P B P C P displaystyle PX PY PZ AP BP CP Zokrema nerivnist sho bula dovedena Luisom Mordellom u 1962 A P B P C P P X P Y P Y P Z P X P Y displaystyle AP cdot BP cdot CP geq PX PY PY PZ PX PY Taki nerivnosti chasto dovodyat vikoristovuyuchi sho A P A B B C P Y A C B C P Z displaystyle AP geq dfrac AB BC PY dfrac AC BC PZ i A P B C A B P Y B C A C P Z displaystyle AP geq dfrac BC AB PY dfrac BC AC PZ Klasichni nerivnosti v trikutniku Persha nerivnist bula dovedena nami ranishe dovedemo drugu Nehaj H A H B H C displaystyle H A H B H C osnovi perpendikulyariv opushenih z vershin A B C displaystyle A B C na storoni B C A C A B displaystyle BC AC AB S displaystyle S plosha trikutnika Zauvazhimo sho A P P X A H A displaystyle AP PX geq AH A i 1 2 A H A B C S 1 2 P X B C 1 2 P Y A C 1 2 P Z A B displaystyle dfrac 1 2 AH A cdot BC S dfrac 1 2 PX cdot BC dfrac 1 2 PY cdot AC dfrac 1 2 PZ cdot AB otrimavshi z ostannogo A H A displaystyle AH A i poklavshi jogo v pershe otrimayemo A P B C A B P Y B C A C P Z displaystyle AP geq dfrac BC AB PY dfrac BC AC PZ DzherelaKiran S Kedlaya version of 17 Jan 2006 PDF Arhiv originalu PDF za 8 chervnya 2011 Procitovano 29 zhovtnya 2010