Наближення сильного зв'язку

Наближення сильного зв'язку — математичний метод розв'язку рівняння Шредінгера для знаходження енергетичних рівнів електронів у кристалічному твердому тілі в одноелектронному наближенні, в якому хвильова функція електрона будується як лінійна комбінація хвильових функцій атомів.

Гамільтоніан, що описує рух електрона в періодичному потенціалі в твердому тілі, можна записати у вигляді

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +\sum _{n}V(\mathbf {r} -\mathbf {a} _{n})}$,

де ${\displaystyle \hbar }$ — приведена стала Планка, m — маса електрона, ${\displaystyle V(\mathbf {r} -\mathbf {a} _{n})}$ — потенціальна енергія електрона, зумовлена взаємодією з n-тим атомом, ${\displaystyle \mathbf {a} _{n}}$ — радіус-вектор n-го вузла.

Якщо функція ${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )}$ є власною функцією гамільтоніана

${\displaystyle {\hat {H}}_{0}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +V(\mathbf {r} )}$,

із енергією ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{0}}$, то в рамках методу сильного зв'язку хвильову функцію кристала шукають у вигляді

${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }=\sum _{n}\phi (\mathbf {r} -\mathbf {a} _{n})e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{n}}}$,

який задовільняє умові теореми Блоха

Наближення сильного зв'язку застосовують тоді, коли інтегралом перекриття функцій ${\displaystyle \phi }$, локалізованих на різних вузлах кристалічної ґратки можна знехтувати:

${\displaystyle \int \phi (\mathbf {r} -\mathbf {a} _{n})\phi (\mathbf {r} -\mathbf {a} _{n}^{\prime })dV\approx 0}$ при ${\displaystyle n\neq n^{\prime }}$.

Тоді закон дисперсії для електронних рівнів запишеться у вигляді

${\displaystyle {\mathcal {E}}(\mathbf {k} )={\mathcal {E}}_{0}+\sum _{n\neq n^{\prime }}w_{nn^{\prime }}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{n}}}$,

де

${\displaystyle w_{nn^{\prime }}=\int \phi ^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {a} _{n})V(\mathbf {r} -\mathbf {a} _{n^{\prime }})\phi (\mathbf {r} -\mathbf {a} _{n^{\prime }})dV}$.

Аналогічну процедуру можна провести з будь-якою атомною орбіталлю. Як наслідок атомний енергетичний рівень ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{0}}$ розщеплюється при взаємодії електрона з іншими атомами кристала у вузьку зону.

Наближення найближчих сусідів

Атомні орбіталі ${\displaystyle \phi }$ швидко спадають із віддаллю, тож величини ${\displaystyle w_{nn^{\prime }}}$, які визначають ймовірність перестрибування електрона з одного вузла кристалічної ґратки на інший, можна вважати відмінними від нуля тільки для найближчих вузлів.

Наприклад, для простої кубічної ґратки з періодом a закон дисперсії електронних станів запишеться у вигляді

${\displaystyle {\mathcal {E}}(\mathbf {k} )={\mathcal {E}}_{0}+2w(\cos k_{x}a+\cos k_{y}a+\cos k_{z}a)}$.

Величина 2w визначає ширину зони.

Застосування

Наближення сильного зв'язку широко використовується в квантовій теорії твердого тіла, а також у квантовій хімії, де аналогічний метод часто називають методом Гюкеля.

Див. також

• Наближення майже вільних електронів
• Модель зануреного атома

Джерела

• Crystal-Field Theory, Tight-Binding Method and Jahn-Teller Effect