Модулі ріманової поверхні

Модулі ріманової поверхні — чисельні характеристики (параметри), одні й ті самі для всіх конформно еквівалентних ріманових поверхонь, що разом характеризують еквівалентності даної ріманової поверхні.

Мотивація

Необхідною умовою конформної еквівалентності двох плоских областей є однакова зв'язність цих областей. Відповідно до теореми Рімана всі однозв'язні області з більш ніж однією граничною точкою конформно еквівалентні одна одній: кожну таку область можна конформно відобразити на одну й ту саму канонічну область, якою зазвичай розглядають одиничне коло. Для областей зв'язності ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle n>2}$, Точного еквіваленту теореми Рімана не існує: не можна вказати якусь фіксовану область, на яку можна однолисто і конформно відобразити всі області даного порядку зв'язності. Це привело до гнучкішого визначення канонічної ${\displaystyle n}$-зв'язної області, що вказує на загальну геометричну структуру цієї області, але не фіксує її модулів.

Приклади

• Конформні класи компактних ріманових поверхонь роду ${\displaystyle g>1}$ характеризуються ${\displaystyle 6g-6}$ дійсними модулями;
• тор (${\displaystyle g=1}$) характеризується двома модулями;
• ${\displaystyle n}$-зв'язна плоска область, що розглядається як ріманова поверхня з краєм, при ${\displaystyle n>3}$ характеризується ${\displaystyle 3n-6}$ модулями;
• кожну двозв'язну область ${\displaystyle D}$ площини ${\displaystyle z}$ з невиродженими граничними континуумами можна конформно відобразити на деяке кругове кільце

${\displaystyle r<|z|<R}$, ${\displaystyle 0<r<R<\infty }$ .

Відношення ${\displaystyle R/r}$ радіусів граничних кіл цього кільця є конформним інваріантом і називається модулем двозв'язної області ${\displaystyle D}$.

Див. також

• Простір модулів

Література

• Модули римановой поверхности — стаття з МЭ. Г. В. Кузьмина, Е. Д. Соломенцев.