Azərbaycanca AzərbaycancaБеларускі БеларускіDansk DanskDeutsch DeutschEspañola EspañolaFrançais FrançaisIndonesia IndonesiaItaliana Italiana日本語 日本語Қазақ ҚазақLietuvos LietuvosNederlands NederlandsPortuguês PortuguêsРусский Русскийසිංහල සිංහලแบบไทย แบบไทยTürkçe TürkçeУкраїнська Українська中國人 中國人United State United StateAfrikaans Afrikaans
Підтримка
www.wikidata.uk-ua.nina.az

Ме тод скінче нних різни ць у часові й о бласті англ Finite Difference Time Domain FDTD один з найпопулярніших методів ч

Метод скінченних різниць в часовій області

Метод скінченних різниць в часовій області

Ме́тод скінче́нних різни́ць у часові́й о́бласті (англ. Finite Difference Time Domain, FDTD) — один з найпопулярніших методів числової електродинаміки, який базується на дискретизації рівнянь Максвелла, записаних у диференціальній формі.

Опис

FDTD відноситься до загального класу сіткових методів розв'язку диференціальних рівнянь. Базовий алгоритм методу був вперше запропонований (Каліфорнійський університет) в 1966 р. в статті «Numerical solution of initial boundary value problems involving maxwell’s equations in isotropic media» журналу «IEEE Transactions on Antennas and Propagation». однак, назва «Finite-difference time-domain» та абревіатура FDTD були дані методу (Північно-західний університет, штат Іллійнойс).

В первісному вузькому сенсі під FDTD малось на увазі використання базового алгоритму Йі для числового розв'язку рівнянь Максвела. В сучасному більш широкому сенсі FDTD включає в себе безліч найрізноманітніших можливостей: моделювання середовищ з дисперсійними і нелінійними властивостями, застосування різних типів сіток (окрім, первинно запропонованої прямокутної сітки Йі), використання методів постпроцесорної обробки результатів і т.д.

Приблизно з 1990 р. метод скінченних різниць став основним для моделювання найрізноманітніших оптичних застосунків. Він може з успіхом бути застосованим для розв'язку широкого спектра задач: від моделювання в геофізиці (включно з процесами в іоносфері) та (наприклад, для вивчення сигнатурної радіолокації, розрахунку характеристик антен, розробки безпровідних пристроїв зв'язку, в тому числі цифрових) до розв'язку задач в оптичному діапазоні (фотонний кристал, , і ). До 2006 р. кількість публікацій, присвячених FDTD, досягла двох тисяч.

На даний момент існує близько 30 комерційних програм FDTD, а також проекти з відкритим вихідним кодом.

Алгоритм Йі

В рівняннях Максвела зміна електричного поля E (часткова похідна) залежить від розподілу в просторі магнітного поля H (ротор). Аналогічно, зміна поля H залежить від розподілу в просторі поля E.

image
Поля в комірці сітки FDTD. Такі комірки становлять просторову тривимірну сітку Йі.

На цьому спостереженні базується алгоритм Йі. Сітки полів E та H по відношенню один до одного на половину кроку дискретизації часу і по кожній з просторових змінних. Кінцево-різницеві рівняння дозволяють визначити поля E та H на даному часовому кроці на основі відомих значень полів на попередньому.

При заданих початкових умовах алгоритм Йі дає еволюційний розв'язок в часі від початку відліку зі заданим часовим кроком.

Аналогічна сітка використовується при розв'язку задач гідродинаміки (для тиску і поля швидкості).

Як в будь-якому іншому різницевому методі, в FDTD існує проблема неточного відображення границі тіла на обчислювальну сітку. Будь-яка крива поверхня, яка розділяє з'єднані середовища і геометрично неузгоджені з сіткою, буде спотворюватись ефектом "ступінчастого наближення". Для вирішення даної проблеми можна використовувати додаткову сітку з великою роздільною здатністю в тих областях простору, де розташовані тіла зі складною геометричною структурою. Також можна видозмінювати різницеві рівняння у вузлах сітки, які знаходяться поблизу границі між сусідніми тілами. Менш затратним методом є введення ефективної діелектричної проникності поблизу границі між тілами (subpixel smoothing).

Чисельна схема FDTD не передбачає можливості табличного задання залежності діелектричної проникності від частоти. Однак, її можна представити у вигляді апроксимації членами Дебая, Друде, Лоренца чи Лоренца з поглинанням. Така апроксимація не обов'язково має фізичний зміст і може бути отримана чисельно, наприклад за допомогою програми.

Поглинаючі граничні умови

image
Генерація плоскої хвилі в двовимірному просторі, який має поглинаючі граничні умови PML

Для того, щоб обмежити об'єм сітки, в FDTD потрібні особливі поглинаючі граничні умови, які модулюють вихід електромагнітної хвилі на нескінченість.

Для цього використовуються поглинаючі граничні умови Мура чи Ляо, або ідеально узгоджені шари (Perfect Matched Layers, PML). Умови Мура чи Ляо набагато простіші, ніж PML. Проте, PML, які, строго кажучи, є поглинаючою приграничною областю, а не граничною умовою як такою, дозволяють отримати на порядки менші за величиною коефіцієнти відбиття від границі.

Поняття ідеально узгоджених шарів (PML) було введено Жаном П'єром Беренже в статті журналу «The Journal of Computational Physics» у 1994 р. Ідея PML базувалась на розбитті вихідних полів E та H на дві компоненти, для кожної з яких мають розв'язуватись свої рівняння. Згодом були запропоновані удосконалені формулювання PML еквівалентні первісному формулюванню Беренже. Так, в одноосьових PML (Uniaxial PML) використовується анізотропний поглинаючий матеріал, що дозволяє не вводити додаткові змінні і залишатись в рамках вихідних рівнянь Максвела. Однак, одноосьові PML, як і PML у формулюванні Беренже, не зручні тим, що в них відсутнє поглинання затухаючих хвиль, що не дозволяє поміщати PML близько до розсіюючих тіл. Цього недоліку позбавлені конволюційні PML (Convolutional PML), які базуються на аналітичному продовженні рівнянь Максвела на комплексну площину таким чином, що їх розв'язок експоненціально затухає. CPML також зручніші в обмеженні нескінченних провідних та дисперсних середовищ. Окрім цього, математичне формулювання CPML демонструє велику наочність і доступність для розуміння.

В деяких випадках використання PML приводить до розбіжності розрахунку FDTD. Цю проблему можна усунути шляхом поміщення за PML додаткової поглинаючої стінки.

Порядок розрахунку FDTD

Хід розрахунку FDTD виглядає наступним чином:

  • Задається область, в якій проводяться розрахунки, розподільна здатність сітки і граничні умови. Граничні умови можуть бути поглинаючими чи періодичними. Останні застосовуються для моделювання нормального падіння плоскої хвилі на періодичну структуру. Схема FDTD для моделювання падіння плоскої хвилі під кутом потребує періодичних умов зі зсувом по часу, які можуть бути реалізовані за допомогою різних методів.
  • Всередині області, в якій рахують поміщають матеріальні тіла зі заданими оптичним властивостями (діелектрична проникність і магнітна провідність)
  • Задається джерело. Найпростіший спосіб задання джерела полягає в заданні часової залежності щільності струму J в рівнянні Ампера. Такий тип джерела зазвичай використовується при моделюванні диполей. Для генерації плоскої хвилі більш зручний другий тип джерела, який реалізується за допомогою методу повного і розсіяного поля (Total Field / Scattered Field).
  • Джерело генерує кінцеву в часі електромагнітну хвилю, спектральний склад якої має покривати діапазон частот, які нас цікавлять. Далі, хвиля падає на тіла, перерозсіюється на них та, при наявності поглинаючих граничних умов, через якийсь час виходить з області, в якій проводяться розрахунки. Історія розповсюдження хвилі зберігається.
  • За допомогою перетворення Фур'є записані значення полів переводяться в частотне представлення. Далі, обробляючи їх (наприклад, інтегруючи потік енергії поля через будь-яку поверхню), можна отримати оптичні характеристики даної структури тіл. Використовуючи метод перетворення ближнього поля в далеке (Near to Far Transformation), можна отримати значення полів за межами області, в якій проводяться розрахунки, на підставі еволюції поля всередині цієї області.

Переваги та недоліки FDTD

Як і будь-який інший чисельний метод, FDTD має свої переваги і недоліки.

Переваги:

  • FDTD - це простий і інтуїтивно зрозумілий метод.
  • Оскільки FDTD працює в часовій області, він дозволяє отримати результат для широкого діапазону довжин хвиль за один розрахунок. Це може бути корисно при вирішенні завдань, в яких невідомі резонансні частоти, або в разі моделювання широкосмугових сигналів.
  • FDTD дозволяє створювати анімовані зображення поширення хвилі в об'ємі, яке моделюється.
  • FDTD зручний при описі анізотропних, дисперсних та нелінійних середовищ.
  • Метод дозволяє безпосередньо моделювати крайові ефекти і ефекти екранування, причому поля всередині і поза екраном можуть бути розраховані як напряму, так і ні.

Недоліки:

  • Величина кроку дискретизації по простору повинна бути значно менше досліджуваних довжин хвиль і типових розмірів досліджуваної структури. У деяких випадках (інверсні опали з маленькими перегородками між кульками) це може потребувати сіток з маленьким кроком, що означає великі витрати пам'яті і великий час розрахунку.
  • FDTD розраховує поля всередині розрахункової області. Якщо потрібно знайти поле на великій відстані від джерела, то необхідне збільшення області, в якій проводяться розрахунки, і часу розрахунку. Існують модифікації методу для знаходження поля на відстані, але вони вимагають попередньої обробки.

Джерела

  1. Kane Yee (1966). Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media. IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 14 (3): 302—307.
  2. S. S. Zivanovic, K. S. Yee, and K. K. Mei (1991). A subgridding method for the Time Domain Finite-Difference Method to solve Maxwell's equations. IEEE Trans. Microware Theory Tech. 38: 471.
  3. T. G. Jurgens, A. Taflove, K. Umashankar, and T. G. Moore (1992). Finite-difference time-domain modeling of curved surfaces. IEEE Trans. Antennas Propag. 40: 357.
  4. J. Nadobny, D. Sullivan, W. Wlodarczyk, P. Deuflhard, and P. Wust (2003). A 3-D tensor FDTD-formulation for treatment of sloped interfaces in electrically inhomogeneous media. IEEE Trans. Antennas Propag. 51: 1760.
  5. A. Deinega and I. Valuev (2007). Subpixel smoothing for conductive and dispersive media in the FDTD method. Opt. Lett. 32: 3429.
  6. Фитинг диэлектрической проницаемости. Архів оригіналу за 9 червня 2012. Процитовано 18 травня 2017.
  7. G. Mur (1981). Absorbing boundary conditions for the finite-difference approximation of the time-domain electromagnetic field equations. IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility. 23 (4): 377—382.
  8. J. Berenger (1994). (PDF). Journal of Computational Physics. 114 (2): 185—200. Архів оригіналу (PDF) за 2 листопада 2013. Процитовано 18 травня 2017.
  9. S. D. Gedney (1996). An anisotropic perfectly matched layer absorbing media for the truncation of FDTD lattices. IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 44 (12): 1630—1639.
  10. J. A. Roden and S. D. Gedney (2000). Convolution PML (CPML): An efficient FDTD implementation of the CFS-PML for arbitrary media. Microwave and Optical Technology Letters. 27 (5): 334—339. Архів оригіналу за 5 січня 2013. Процитовано 18 травня 2017.
  11. A. Deinega and I. Valuev (2011). . Comp. Phys. Comm. 182: 149. Архів оригіналу за 12 липня 2017. Процитовано 18 травня 2017.
  12. I. Valuev, A. Deinega, and S. Belousov (2008). Iterative technique for analysis of periodic structures at oblique incidence in the finite-difference time-domain method. Opt. Lett. 33: 1491.
  13. A. Aminian and Y. Rahmat-Samii (2006). Spectral FDTD: a novel technique for the analysis of oblique incident plane wave on periodic structures. IEEE Trans. Antennas and Propagation. 54: 1818.
  14. J. A. Roden, S. D. Gedney, M. P. Kesler, J. G. Maloney, and P. H. Harms (1998). Time-domain analysis of periodic structures at oblique incidence: orthogonal and nonorthogonal FDTD implementations. Microwave Theory and Techniques. 46: 420.
  15. K. R. Umashankar and A. Taflove (1982). (PDF). IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility. 24 (4): 397—405. Архів оригіналу (PDF) за 4 березня 2016. Процитовано 18 травня 2017.

Посилання

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет

Me tod skinche nnih rizni c u chasovi j o blasti angl Finite Difference Time Domain FDTD odin z najpopulyarnishih metodiv chislovoyi elektrodinamiki yakij bazuyetsya na diskretizaciyi rivnyan Maksvella zapisanih u diferencialnij formi OpisFDTD vidnositsya do zagalnogo klasu sitkovih metodiv rozv yazku diferencialnih rivnyan Bazovij algoritm metodu buv vpershe zaproponovanij Kalifornijskij universitet v 1966 r v statti Numerical solution of initial boundary value problems involving maxwell s equations in isotropic media zhurnalu IEEE Transactions on Antennas and Propagation odnak nazva Finite difference time domain ta abreviatura FDTD buli dani metodu Pivnichno zahidnij universitet shtat Illijnojs V pervisnomu vuzkomu sensi pid FDTD malos na uvazi vikoristannya bazovogo algoritmu Ji dlya chislovogo rozv yazku rivnyan Maksvela V suchasnomu bilsh shirokomu sensi FDTD vklyuchaye v sebe bezlich najriznomanitnishih mozhlivostej modelyuvannya seredovish z dispersijnimi i nelinijnimi vlastivostyami zastosuvannya riznih tipiv sitok okrim pervinno zaproponovanoyi pryamokutnoyi sitki Ji vikoristannya metodiv postprocesornoyi obrobki rezultativ i t d Priblizno z 1990 r metod skinchennih riznic stav osnovnim dlya modelyuvannya najriznomanitnishih optichnih zastosunkiv Vin mozhe z uspihom buti zastosovanim dlya rozv yazku shirokogo spektra zadach vid modelyuvannya v geofizici vklyuchno z procesami v ionosferi ta napriklad dlya vivchennya signaturnoyi radiolokaciyi rozrahunku harakteristik anten rozrobki bezprovidnih pristroyiv zv yazku v tomu chisli cifrovih do rozv yazku zadach v optichnomu diapazoni fotonnij kristal i Do 2006 r kilkist publikacij prisvyachenih FDTD dosyagla dvoh tisyach Na danij moment isnuye blizko 30 komercijnih program FDTD a takozh proekti z vidkritim vihidnim kodom Algoritm JiV rivnyannyah Maksvela zmina elektrichnogo polya E chastkova pohidna zalezhit vid rozpodilu v prostori magnitnogo polya H rotor Analogichno zmina polya H zalezhit vid rozpodilu v prostori polya E Polya v komirci sitki FDTD Taki komirki stanovlyat prostorovu trivimirnu sitku Ji Na comu sposterezhenni bazuyetsya algoritm Ji Sitki poliv E ta H po vidnoshennyu odin do odnogo na polovinu kroku diskretizaciyi chasu i po kozhnij z prostorovih zminnih Kincevo riznicevi rivnyannya dozvolyayut viznachiti polya E ta H na danomu chasovomu kroci na osnovi vidomih znachen poliv na poperednomu Pri zadanih pochatkovih umovah algoritm Ji daye evolyucijnij rozv yazok v chasi vid pochatku vidliku zi zadanim chasovim krokom Analogichna sitka vikoristovuyetsya pri rozv yazku zadach gidrodinamiki dlya tisku i polya shvidkosti Yak v bud yakomu inshomu riznicevomu metodi v FDTD isnuye problema netochnogo vidobrazhennya granici tila na obchislyuvalnu sitku Bud yaka kriva poverhnya yaka rozdilyaye z yednani seredovisha i geometrichno neuzgodzheni z sitkoyu bude spotvoryuvatis efektom stupinchastogo nablizhennya Dlya virishennya danoyi problemi mozhna vikoristovuvati dodatkovu sitku z velikoyu rozdilnoyu zdatnistyu v tih oblastyah prostoru de roztashovani tila zi skladnoyu geometrichnoyu strukturoyu Takozh mozhna vidozminyuvati riznicevi rivnyannya u vuzlah sitki yaki znahodyatsya poblizu granici mizh susidnimi tilami Mensh zatratnim metodom ye vvedennya efektivnoyi dielektrichnoyi proniknosti poblizu granici mizh tilami subpixel smoothing Chiselna shema FDTD ne peredbachaye mozhlivosti tablichnogo zadannya zalezhnosti dielektrichnoyi proniknosti vid chastoti Odnak yiyi mozhna predstaviti u viglyadi aproksimaciyi chlenami Debaya Drude Lorenca chi Lorenca z poglinannyam Taka aproksimaciya ne obov yazkovo maye fizichnij zmist i mozhe buti otrimana chiselno napriklad za dopomogoyu programi Poglinayuchi granichni umoviGeneraciya ploskoyi hvili v dvovimirnomu prostori yakij maye poglinayuchi granichni umovi PML Dlya togo shob obmezhiti ob yem sitki v FDTD potribni osoblivi poglinayuchi granichni umovi yaki modulyuyut vihid elektromagnitnoyi hvili na neskinchenist Dlya cogo vikoristovuyutsya poglinayuchi granichni umovi Mura chi Lyao abo idealno uzgodzheni shari Perfect Matched Layers PML Umovi Mura chi Lyao nabagato prostishi nizh PML Prote PML yaki strogo kazhuchi ye poglinayuchoyu prigranichnoyu oblastyu a ne granichnoyu umovoyu yak takoyu dozvolyayut otrimati na poryadki menshi za velichinoyu koeficiyenti vidbittya vid granici Ponyattya idealno uzgodzhenih shariv PML bulo vvedeno Zhanom P yerom Berenzhe v statti zhurnalu The Journal of Computational Physics u 1994 r Ideya PML bazuvalas na rozbitti vihidnih poliv E ta H na dvi komponenti dlya kozhnoyi z yakih mayut rozv yazuvatis svoyi rivnyannya Zgodom buli zaproponovani udoskonaleni formulyuvannya PML ekvivalentni pervisnomu formulyuvannyu Berenzhe Tak v odnoosovih PML Uniaxial PML vikoristovuyetsya anizotropnij poglinayuchij material sho dozvolyaye ne vvoditi dodatkovi zminni i zalishatis v ramkah vihidnih rivnyan Maksvela Odnak odnoosovi PML yak i PML u formulyuvanni Berenzhe ne zruchni tim sho v nih vidsutnye poglinannya zatuhayuchih hvil sho ne dozvolyaye pomishati PML blizko do rozsiyuyuchih til Cogo nedoliku pozbavleni konvolyucijni PML Convolutional PML yaki bazuyutsya na analitichnomu prodovzhenni rivnyan Maksvela na kompleksnu ploshinu takim chinom sho yih rozv yazok eksponencialno zatuhaye CPML takozh zruchnishi v obmezhenni neskinchennih providnih ta dispersnih seredovish Okrim cogo matematichne formulyuvannya CPML demonstruye veliku naochnist i dostupnist dlya rozuminnya V deyakih vipadkah vikoristannya PML privodit do rozbizhnosti rozrahunku FDTD Cyu problemu mozhna usunuti shlyahom pomishennya za PML dodatkovoyi poglinayuchoyi stinki Poryadok rozrahunku FDTDHid rozrahunku FDTD viglyadaye nastupnim chinom Zadayetsya oblast v yakij provodyatsya rozrahunki rozpodilna zdatnist sitki i granichni umovi Granichni umovi mozhut buti poglinayuchimi chi periodichnimi Ostanni zastosovuyutsya dlya modelyuvannya normalnogo padinnya ploskoyi hvili na periodichnu strukturu Shema FDTD dlya modelyuvannya padinnya ploskoyi hvili pid kutom potrebuye periodichnih umov zi zsuvom po chasu yaki mozhut buti realizovani za dopomogoyu riznih metodiv Vseredini oblasti v yakij rahuyut pomishayut materialni tila zi zadanimi optichnim vlastivostyami dielektrichna proniknist i magnitna providnist Zadayetsya dzherelo Najprostishij sposib zadannya dzherela polyagaye v zadanni chasovoyi zalezhnosti shilnosti strumu J v rivnyanni Ampera Takij tip dzherela zazvichaj vikoristovuyetsya pri modelyuvanni dipolej Dlya generaciyi ploskoyi hvili bilsh zruchnij drugij tip dzherela yakij realizuyetsya za dopomogoyu metodu povnogo i rozsiyanogo polya Total Field Scattered Field Dzherelo generuye kincevu v chasi elektromagnitnu hvilyu spektralnij sklad yakoyi maye pokrivati diapazon chastot yaki nas cikavlyat Dali hvilya padaye na tila pererozsiyuyetsya na nih ta pri nayavnosti poglinayuchih granichnih umov cherez yakijs chas vihodit z oblasti v yakij provodyatsya rozrahunki Istoriya rozpovsyudzhennya hvili zberigayetsya Za dopomogoyu peretvorennya Fur ye zapisani znachennya poliv perevodyatsya v chastotne predstavlennya Dali obroblyayuchi yih napriklad integruyuchi potik energiyi polya cherez bud yaku poverhnyu mozhna otrimati optichni harakteristiki danoyi strukturi til Vikoristovuyuchi metod peretvorennya blizhnogo polya v daleke Near to Far Transformation mozhna otrimati znachennya poliv za mezhami oblasti v yakij provodyatsya rozrahunki na pidstavi evolyuciyi polya vseredini ciyeyi oblasti Perevagi ta nedoliki FDTDYak i bud yakij inshij chiselnij metod FDTD maye svoyi perevagi i nedoliki Perevagi FDTD ce prostij i intuyitivno zrozumilij metod Oskilki FDTD pracyuye v chasovij oblasti vin dozvolyaye otrimati rezultat dlya shirokogo diapazonu dovzhin hvil za odin rozrahunok Ce mozhe buti korisno pri virishenni zavdan v yakih nevidomi rezonansni chastoti abo v razi modelyuvannya shirokosmugovih signaliv FDTD dozvolyaye stvoryuvati animovani zobrazhennya poshirennya hvili v ob yemi yake modelyuyetsya FDTD zruchnij pri opisi anizotropnih dispersnih ta nelinijnih seredovish Metod dozvolyaye bezposeredno modelyuvati krajovi efekti i efekti ekranuvannya prichomu polya vseredini i poza ekranom mozhut buti rozrahovani yak napryamu tak i ni Nedoliki Velichina kroku diskretizaciyi po prostoru povinna buti znachno menshe doslidzhuvanih dovzhin hvil i tipovih rozmiriv doslidzhuvanoyi strukturi U deyakih vipadkah inversni opali z malenkimi peregorodkami mizh kulkami ce mozhe potrebuvati sitok z malenkim krokom sho oznachaye veliki vitrati pam yati i velikij chas rozrahunku FDTD rozrahovuye polya vseredini rozrahunkovoyi oblasti Yaksho potribno znajti pole na velikij vidstani vid dzherela to neobhidne zbilshennya oblasti v yakij provodyatsya rozrahunki i chasu rozrahunku Isnuyut modifikaciyi metodu dlya znahodzhennya polya na vidstani ale voni vimagayut poperednoyi obrobki DzherelaKane Yee 1966 Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell s equations in isotropic media IEEE Transactions on Antennas and Propagation 14 3 302 307 S S Zivanovic K S Yee and K K Mei 1991 A subgridding method for the Time Domain Finite Difference Method to solve Maxwell s equations IEEE Trans Microware Theory Tech 38 471 T G Jurgens A Taflove K Umashankar and T G Moore 1992 Finite difference time domain modeling of curved surfaces IEEE Trans Antennas Propag 40 357 J Nadobny D Sullivan W Wlodarczyk P Deuflhard and P Wust 2003 A 3 D tensor FDTD formulation for treatment of sloped interfaces in electrically inhomogeneous media IEEE Trans Antennas Propag 51 1760 A Deinega and I Valuev 2007 Subpixel smoothing for conductive and dispersive media in the FDTD method Opt Lett 32 3429 Fiting dielektricheskoj pronicaemosti Arhiv originalu za 9 chervnya 2012 Procitovano 18 travnya 2017 G Mur 1981 Absorbing boundary conditions for the finite difference approximation of the time domain electromagnetic field equations IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility 23 4 377 382 J Berenger 1994 PDF Journal of Computational Physics 114 2 185 200 Arhiv originalu PDF za 2 listopada 2013 Procitovano 18 travnya 2017 S D Gedney 1996 An anisotropic perfectly matched layer absorbing media for the truncation of FDTD lattices IEEE Transactions on Antennas and Propagation 44 12 1630 1639 J A Roden and S D Gedney 2000 Convolution PML CPML An efficient FDTD implementation of the CFS PML for arbitrary media Microwave and Optical Technology Letters 27 5 334 339 Arhiv originalu za 5 sichnya 2013 Procitovano 18 travnya 2017 A Deinega and I Valuev 2011 Comp Phys Comm 182 149 Arhiv originalu za 12 lipnya 2017 Procitovano 18 travnya 2017 I Valuev A Deinega and S Belousov 2008 Iterative technique for analysis of periodic structures at oblique incidence in the finite difference time domain method Opt Lett 33 1491 A Aminian and Y Rahmat Samii 2006 Spectral FDTD a novel technique for the analysis of oblique incident plane wave on periodic structures IEEE Trans Antennas and Propagation 54 1818 J A Roden S D Gedney M P Kesler J G Maloney and P H Harms 1998 Time domain analysis of periodic structures at oblique incidence orthogonal and nonorthogonal FDTD implementations Microwave Theory and Techniques 46 420 K R Umashankar and A Taflove 1982 PDF IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility 24 4 397 405 Arhiv originalu PDF za 4 bereznya 2016 Procitovano 18 travnya 2017 PosilannyaSavula Ya Metod skinchennih elementiv okremi storinki posibnika 1993 r http old ami lnu edu ua books AMI savula pdf Shinkarenko G Chiselni metodi matematichnoyi fiziki okremi storinki chornovika posibnika http old ami lnu edu ua books AMI nmmf pdf

Дата публікації:
Топ