Матриця жорсткості

Нотація Фогта — матрична форма запису симетричного тензора 4-го рангу. Вперше була запропонована німецьким фізиком Вольдемаром Фогтом для тензора пружності в формулюванні закону Гука для анізотропних матеріалів.

Позначення

Якщо тензор 4-ранга ${\displaystyle c_{ijkl}}$ є симетричним за першою і другою парою індексів

${\displaystyle c_{ijkl}=c_{jikl}}$,

${\displaystyle c_{ijkl}=c_{ijlk}}$,

то його елементи можуть бути записані у вигляді матриці 6x6, використовуючи наступну підстановку індексів:

${\displaystyle 11\rightarrow 1}$

${\displaystyle 22\rightarrow 2}$

${\displaystyle 33\rightarrow 3}$

${\displaystyle 23,32\rightarrow 4}$

${\displaystyle 13,31\rightarrow 5}$

${\displaystyle 12,21\rightarrow 6}$.

Наприклад, компонента ${\displaystyle c_{3122}}$ буде відповідати елементу матриці ${\displaystyle C_{52}}$.

Використовуючи ті ж підстановки індексів, можна записувати симетричні тензори 2 рангу у вигляді 6 векторів. При такому поданні результат множення тензорів, взагалі кажучи, не відповідають результату множення матриць. Для того, щоб операція тензорного множення могла бути записана у вигляді множення матриць, може знадобитися введення додаткових множників.

Той факт, що тензор пружності має щонайбільше 21 незалежну копоненту дозволяє записати закон Гука в простішій формі з використанням матриць 6х6.

При цьому вводяться такі позначення:

${\displaystyle \varepsilon _{i}=\varepsilon _{ii},\qquad \sigma _{i}=\sigma _{ii}}$

для i = 1,2,3.

${\displaystyle \varepsilon _{4}=\varepsilon _{23}+\varepsilon _{32},\qquad \sigma _{4}=\sigma _{23}+\sigma _{32}}$,

${\displaystyle \varepsilon _{5}=\varepsilon _{13}+\varepsilon _{31},\qquad \sigma _{5}=\sigma _{13}+\sigma _{31}}$,

${\displaystyle \varepsilon _{6}=\varepsilon _{12}+\varepsilon _{21},\qquad \sigma _{6}=\sigma _{12}+\sigma _{21}}$.

Матричний запис закону Гука

Докладніше: закон Гука

Тоді матриця жорсткості визначається за допомогою співвідношення

${\displaystyle \left({\begin{matrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&c_{14}&c_{15}&c_{16}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}&c_{24}&c_{25}&c_{26}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}&c_{34}&c_{35}&c_{36}\\c_{41}&c_{42}&c_{43}&c_{44}&c_{45}&c_{46}\\c_{51}&c_{52}&c_{53}&c_{54}&c_{55}&c_{56}\\c_{61}&c_{62}&c_{63}&c_{64}&c_{65}&c_{66}\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{matrix}}\right)}$

Матриця жорсткості симетрична

${\displaystyle c_{ik}=c_{k1}}$,

а тому здебільшого її зображають в трикутній формі

${\displaystyle \left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&c_{14}&c_{15}&c_{16}\\&c_{22}&c_{23}&c_{24}&c_{25}&c_{26}\\&&c_{33}&c_{34}&c_{35}&c_{36}\\&&&c_{44}&c_{45}&c_{46}\\&&&&c_{55}&c_{56}\\&&&&&c_{66}\\\end{matrix}}\right)}$

Такий загальний вигляд матриця жорсткості має для кристалів найнижчої симетрії. Для кристалів високої симетрії матриця жорсткості має менше незалежних елементів і її вигляд спрощується. Наприклад, для ізотропного середовища залишається лише два незалежних елементи.

Матриця жорсткості для різних сингоній

Триклінна сингонія

Матриця жорсткості має загальний вигляд із 21-м незалежним елементом.

Моноклінна сингонія

Тринадцять незалежних пружніх сталих

${\displaystyle \left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&0&c_{15}&0\\&c_{22}&c_{23}&0&c_{25}&0\\&&c_{33}&0&c_{35}&0\\&&&c_{44}&0&c_{46}\\&&&&c_{55}&0\\&&&&&c_{66}\\\end{matrix}}\right)}$

Ромбічна сингонія

9 незалежних елементів

${\displaystyle \left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&0&0&0\\&c_{22}&c_{23}&0&0&0\\&&c_{33}&0&0&0\\&&&c_{44}&0&0\\&&&&c_{55}&0\\&&&&&c_{66}\\\end{matrix}}\right)}$

Тетрагональна сингонія

Кристалічні класи 4, ${\displaystyle {\bar {4}}}$, 4/m мають матрицю жорсткості з 7-ма незалежними модулями пружності:

${\displaystyle \left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&c_{14}&c_{15}&c_{16}\\&c_{11}&c_{13}&0&0&-c_{16}\\&&c_{33}&0&0&0\\&&&c_{44}&0&0\\&&&&c_{55}&0\\&&&&&c_{66}\\\end{matrix}}\right)}$

Кристалічні класи 422, 4mm, ${\displaystyle {\bar {4}}}$2m, 4/mmm мають 6 незалежних елементів

${\displaystyle \left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&c_{14}&c_{15}&0\\&c_{11}&c_{13}&0&0&0\\&&c_{33}&0&0&0\\&&&c_{44}&0&0\\&&&&c_{55}&0\\&&&&&c_{66}\\\end{matrix}}\right)}$

Тригональна сингонія

Кристалічні класи ${\displaystyle {\bar {3}}}$ і 3 характеризуютья 7-а незалежними модулями пружності

${\displaystyle \left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&c_{14}&-c_{15}&0\\&c_{11}&c_{13}&c_{14}&c_{15}&0\\&&c_{33}&0&0&0\\&&&c_{44}&0&c_{15}\\&&&&c_{55}&c_{14}\\&&&&&(c_{11}-c_{12})/2\\\end{matrix}}\right)}$

Кристалічні класи 32б 3m та ${\displaystyle {\bar {3}}}$m характеризуються 6-ма незалежними модулями

${\displaystyle \left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&c_{14}&0&0\\&c_{11}&c_{13}&-c_{14}&0&0\\&&c_{33}&0&0&0\\&&&c_{44}&0&0\\&&&&c_{55}&c_{14}\\&&&&&(c_{11}-c_{12})/2\\\end{matrix}}\right)}$

Гексагональна сингонія

Для гексагональної сингонії існує 5 незалежних елементів матриці пружності

${\displaystyle \left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}&0&0&0\\&c_{11}&c_{13}&0&0&0\\&&c_{33}&0&0&0\\&&&c_{44}&0&0\\&&&&c_{44}&0\\&&&&&(c_{11}-c_{12})/2\\\end{matrix}}\right)}$

Кубічна сингонія

Три незалежних модулі пружності

${\displaystyle \left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{12}&0&0&0\\&c_{11}&c_{12}&0&0&0\\&&c_{11}&0&0&0\\&&&c_{44}&0&0\\&&&&c_{44}&0\\&&&&&c_{44}\\\end{matrix}}\right)}$

Ізотропне середовище

Два незалежних модулі пружності

${\displaystyle \left({\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{12}&0&0&0\\&c_{11}&c_{12}&0&0&0\\&&c_{11}&0&0&0\\&&&(c_{11}-c_{12})/2&0&0\\&&&&(c_{11}-c_{12})/2&0\\&&&&&(c_{11}-c_{12})/2\\\end{matrix}}\right)}$

Джерела

• Кучин В.А., Ульянов В.Л. (1986). Упругие и неупругие свойства кристаллов. Москва: Энергоатомиздат.
• М.А. Акивис, В.В. Гольдберг. Тензорное исчисление. — М. : Наука, 1969. — 352 с.
• В. Новацкий. Теория упругости / пер. ^[ru]. — М. : "Мир", 1975. — 871 с.
• Т.Д. Шермергор. Теория упругости микронеоднородных сред. — М. : "Наука", 1977. — 399 с.