Момент зупину або марковський момент часу в теорії випадкових процесів — це випадкова величина, яка не залежить від майбутнього розглянутого випадкового процесу.
Дискретний випадок
Визначення
Нехай дана послідовність випадкових величин . Тоді випадкова величина називається марковським моментом (часу), якщо для будь-якого подія залежить тільки від випадкових величин .
Приклад
нехай — послідовність незалежних нормальних випадкових величин. Нехай , і
— момент першого досягнення процесом рівня . Тоді - марковський момент, бо тоді і тільки тоді, коли існує таке, що . Таким чином подія залежить лише від поведінки процесу до моменту часу .
Нехай тепер
— момент останнього досягнення процесом рівня . Тоді не є марковським моментом, бо подія передбачає знання поведінки процесу в майбутньому.
Загальний випадок
Визначення
- Нехай дано ймовірнісний простір з фільтрацією , де . Тоді випадкова величина , яка приймає значення в називається марковським моментом відносно даної фільтрації, якщо .
- Якщо дано процес , і - його природні σ-алгебри, то кажуть, що — марковський момент відносно процесу .
- Марковський момент називається моментом зупинки, якщо він скінченний майже напевно, тобто:.
Властивості
Якщо і — марковські моменти, то
- — марковський момент;
- — марковський момент;
- — марковський момент.
Зауваження
Момент зупинки може не мати скінченного математичного сподівання.
Приклад
Нехай — стандартний вінерівський процес. Нехай . Визначимо
- .
Тоді — марковський момент, який має розподіл, що задається щільністю ймовірності
- .
Зокрема — момент зупинки. Проте,
- .
Контрприклад
Розглянемо пацюка у відкритому лабіринті, в якому пацюк зрештою виходить на свободу і ніколи вже не повертається в лабіринт. Припустимо, що пацюк стартує у комірці 1; Нехай позначає час коли пацюк відвідав комірку 1 востаннє перед тим як покинути лабіринт:
Очевидно, що ви мусимо знати майбутнє, щоб визначити цей час.
Див. також
Це незавершена стаття зі статистики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
В іншому мовному розділі є повніша стаття Stopping time(англ.). Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою з англійської.
|
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Moment zupinu abo markovskij moment chasu v teoriyi vipadkovih procesiv ce vipadkova velichina yaka ne zalezhit vid majbutnogo rozglyanutogo vipadkovogo procesu Diskretnij vipadokViznachennya Nehaj dana poslidovnist vipadkovih velichin Yn n 0 displaystyle Y n n geq 0 Todi vipadkova velichina t displaystyle tau nazivayetsya markovskim momentom chasu yaksho dlya bud yakogo n 0 displaystyle n geq 0 podiya t n displaystyle tau leq n zalezhit tilki vid vipadkovih velichin Y0 Yn displaystyle Y 0 ldots Y n Priklad nehaj Yn n 0 displaystyle Y n n geq 0 poslidovnist nezalezhnih normalnih vipadkovih velichin Nehaj L R displaystyle L in mathbb R i t inf n 0 Yn L displaystyle tau inf n geq 0 mid Y n geq L moment pershogo dosyagnennya procesom Yn displaystyle Y n rivnya L displaystyle L Todi t displaystyle tau markovskij moment bo t n displaystyle tau leq n todi i tilki todi koli isnuye i N 0 i n displaystyle i in mathbb N 0 leq i leq n take sho Yi L displaystyle Y i geq L Takim chinom podiya t n displaystyle tau leq n zalezhit lishe vid povedinki procesu do momentu chasu n displaystyle n Nehaj teper s sup n 0 Yn L displaystyle sigma sup n geq 0 mid Y n geq L moment ostannogo dosyagnennya procesom Yn displaystyle Y n rivnya L displaystyle L Todi s displaystyle sigma ne ye markovskim momentom bo podiya s n displaystyle sigma leq n peredbachaye znannya povedinki procesu v majbutnomu Zagalnij vipadokViznachennya Nehaj dano jmovirnisnij prostir W F P displaystyle Omega mathcal F mathbb P z filtraciyeyu Ft t T displaystyle mathcal F t t in T de T 0 displaystyle T subset 0 infty Todi vipadkova velichina t displaystyle tau yaka prijmaye znachennya v T displaystyle T cup infty nazivayetsya markovskim momentom vidnosno danoyi filtraciyi yaksho t t Ft t T displaystyle tau leq t in mathcal F t quad forall t in T Yaksho dano proces Xt t T displaystyle X t t in T i Ft s Xs s t displaystyle mathcal F t sigma X s mid s leq t jogo prirodni s algebri to kazhut sho t displaystyle tau markovskij moment vidnosno procesu Xt displaystyle X t Markovskij moment nazivayetsya momentom zupinki yaksho vin skinchennij majzhe napevno tobto P t lt 1 displaystyle mathbb P tau lt infty 1 Vlastivosti Yaksho t displaystyle tau i s displaystyle sigma markovski momenti to t s displaystyle tau sigma markovskij moment t s min t s displaystyle tau wedge sigma equiv min tau sigma markovskij moment t s max t s displaystyle tau vee sigma equiv max tau sigma markovskij moment Zauvazhennya Moment zupinki mozhe ne mati skinchennogo matematichnogo spodivannya Priklad Nehaj Wt t 0 displaystyle W t t geq 0 standartnij vinerivskij proces Nehaj a gt 0 displaystyle alpha gt 0 Viznachimo t inf t 0 Wt a displaystyle tau inf t geq 0 mid W t geq alpha Todi t displaystyle tau markovskij moment yakij maye rozpodil sho zadayetsya shilnistyu jmovirnosti ft t a2pt3e a22t t 0 displaystyle f tau t frac alpha sqrt 2 pi t 3 e frac alpha 2 2t quad t geq 0 Zokrema t displaystyle tau moment zupinki Prote Et displaystyle mathbb E tau infty KontrprikladRozglyanemo pacyuka u vidkritomu labirinti v yakomu pacyuk zreshtoyu vihodit na svobodu i nikoli vzhe ne povertayetsya v labirint Pripustimo sho pacyuk startuye u komirci 1 X0 1 displaystyle X 0 1 Nehaj t displaystyle tau poznachaye chas koli pacyuk vidvidav komirku 1 vostannye pered tim yak pokinuti labirint t max n 0 Xn 1 displaystyle tau mbox max n geq 0 X n 1 Ochevidno sho vi musimo znati majbutnye shob viznachiti cej chas Div takozhZadacha pro perebirlivu molodicyu Ce nezavershena stattya zi statistiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi V inshomu movnomu rozdili ye povnisha stattya Stopping time angl Vi mozhete dopomogti rozshirivshi potochnu stattyu za dopomogoyu perekladu z anglijskoyi Divitis avtoperekladenu versiyu statti z movi anglijska Perekladach povinen rozumiti sho vidpovidalnist za kincevij vmist statti u Vikipediyi nese same avtor redaguvan Onlajn pereklad nadayetsya lishe yak korisnij instrument pereglyadu vmistu zrozumiloyu movoyu Ne vikoristovujte nevichitanij i nevidkorigovanij mashinnij pereklad u stattyah ukrayinskoyi Vikipediyi Mashinnij pereklad Google ye korisnoyu vidpravnoyu tochkoyu dlya perekladu ale perekladacham neobhidno vipravlyati pomilki ta pidtverdzhuvati tochnist perekladu a ne prosto skopiyuvati mashinnij pereklad do ukrayinskoyi Vikipediyi Ne perekladajte tekst yakij vidayetsya nedostovirnim abo neyakisnim Yaksho mozhlivo perevirte tekst za posilannyami podanimi v inshomovnij statti Dokladni rekomendaciyi div Vikipediya Pereklad