Логарифмічний масштаб

Логарифмі́чна шкала́ (англ. logarithmic scale) або логарифмі́чний масшта́б — тип шкали вимірювань логарифмічних величин, що побудована на основі використання логарифмічного перетворення. Для побудови логарифмічних шкал зазвичай використовуються системи десяткових або натуральних логарифмів, а також система логарифмів з основою два.

Діаграма зростання числа хостів у мережі Інтернет по роках, подана за логарифмічною шкалою

Операція логарифмування може застосовуватись до безрозмірнісних величин, тому перед логарифмування перетворювана розмірнісна величина на початку перетворюється в безрозмірнісну шляхом її ділення на прийняте за погодженням довільне (опорне) значення цієї ж величини, після чого виконується операція логарифмування.

Залежно від типу шкали, що піддається логарифмічному перетворенню, логарифмічні шкали можуть бути двох видів: абсолютні логарифмічні шкали та логарифмічні шкали різниць.

Абсолютні логарифмічні шкали

Логарифмічна шкала, що отримується логарифмічним перетворенням L= log X безрозмірнісної величини Х, виміряної в абсолютній шкалі, носить назву «абсолютна логарифмічна шкала» (англ. logarithmic absolute scale). Іноді таку шкалу називають логарифмічною шкалою з плаваючим нулем, оскільки в таких шкалах не зафіксовано опорне значення. Прикладами таких шкал є шкали посилення (ослаблення) сигналу в дБ. Для значень величин в абсолютних логарифмічних шкалах припустимі операції додавання і віднімання.

Логарифмічна шкала різниць

Логарифмічна шкала, що отримується логарифмічним перетворенням величини, визначеної в шкалі відношень або інтервальною шкалою , тобто шкала, що визначається залежністю L = log (X/X₀), де Х — поточне, а Х₀ — прийняте за погодженням опорне значення величини, що перетворюється, носить назву «логарифмічна шкала різниць» (англ. logarithmic scale of differences).

За логарифмічного перетворення шкал відношень та інтервальних шкал отримують логарифмічну шкалу різниць з фіксованим нулем, що відповідає прийнятому опорному значенню шкали, яка перетворюється. В радіотехніці за опорне найчастіше приймають значення 1 мВт, 1 В, 1 мкВ; в акустиці — 20 мкПа та ін. До цих шкал у загальному випадку не можна прямо застосовувати жодної арифметичної дії; додавання і віднімання величин, виражених у значеннях таких шкал, повинно проводитись шляхом знаходження їх антилогарифмів, виконання необхідних арифметичних операцій і повторного логарифмування результату.

Приклади застосування

Наочним прикладом використання і користі від логарифмічного масштабу є логарифмічна лінійка, яка дозволяє проводити досить складні обчислення з точністю до двох-трьох десяткових знаків.

Логарифмічна шкала є зручною для відображення дуже великих діапазонів значень величин.

Крім того, для багатьох органів чуття величина відчуття є пропорційною логарифму впливу. Наприклад, в музиці ноти, що розрізняються за частотою вдвічі, сприймаються як одна і та ж нота на октаву вище, а інтервал між нотами у півтону відповідає відношенню їх частот 2^1/12. Тому нотна шкала — є логарифмічною з використанням логарифма з основою 2. Крім того, відповідно до закону Вебера — Фехнера, гучність звуку на сприйняття також пропорційна логарифму його інтенсивності (зокрема, логарифму потужності, що випромінюється звуковою колонкою). Тому на амплітудно-частотних характеристиках звуковідтворюючих пристроїв застосовують логарифмічний масштаб по обох осях.

Приклади використання логарифмічних шкал:

• Шкала Ріхтера оцінки інтенсивності землетрусів.
• Шкала експозицій у фотографії.
• Зоряні величини — шкала яскравості зірок.
• Шкала pH, що показує ступінь кислотності середовища.
• Шкала одиниць вимірювання різниці рівнів звукової гучності або потужності — децибелах.
• Шкала частоти звуку — октавна система.

Див. також

• Шкала
• Логарифмічна величина
• Логарифмічне зростання

Джерела

• МИ 2365-96 ГСИ. Шкалы измерений. Основные положения. Термины и определения.
• ГОСТ 8.134-98 ГСИ. Шкала pH водных растворов.

Посилання

• Основи охорони праці /Розділ 2.8.1. Акустичні величини [ 5 квітня 2014 у Wayback Machine.] В. Ц. Жидецький, В. С. Джигирей, О. В. Мельников — Вид. 2-е, стериотипне. — Львів: Афіша, 2000. — 348 с.
• Why using logarithmic scale to display share prices? [ 4 березня 2016 у Wayback Machine.] (англ.)