Логарифмічна спіраль

Логарифмічна спіраль або ізогональна спіраль — особливий вид спіралі, що часто зустрічається в природі. Логарифмічна спіраль була вперше описана Декартом і пізніше інтенсивно досліджена Бернуллі, який називав її Spira mirabilis — «дивовижна спіраль». Власне термін «логарифмічна спіраль» (фр. spirale logarithmique) першим вжив П'єр Варіньон.

Побудова логарифмічної спіралі. Анімація.

Логарифмічна спіраль (нахил 10°).

Рівняння

У полярних координатах рівняння кривої може бути записано як

${\displaystyle r=ae^{b\theta }\,}$

або

${\displaystyle \vartheta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),}$

що пояснює назву «логарифмічна».

У параметричній формі його може бути записано як

${\displaystyle x(t)=r\cos t=ae^{bt}\cos t\,,}$

${\displaystyle y(t)=r\sin t=ae^{bt}\sin t\,,}$

де a, b- дійсні числа.

Властивості

• Кут, що утворюється дотичною в довільній точці логарифмічної спіралі з радіус-вектором точки дотику, постійний і залежить лише від параметра ${\displaystyle b.}$
  • У термінах диференціальної геометрії це може бути записано як

    ${\displaystyle {\frac {\langle \mathbf {r} (\theta ),\mathbf {r} '(\theta )\rangle }{\|\mathbf {r} (\theta )\|\|\mathbf {r} '(\theta )\|}}={\frac {b}{\sqrt {1+b^{2}}}}=\cos \varphi .}$

• Похідна функції ${\displaystyle \mathbf {r} '(\vartheta )}$ пропорційна параметру b. Іншими словами, він визначає, наскільки щільно і в якому напрямку закручується спіраль. У граничному випадку, коли ${\displaystyle b=0\;(\varphi =\pi /2)}$ спіраль вироджується в коло радіусу a. Навпаки, коли b прямує до нескінченності ${\displaystyle (\varphi \rightarrow 0),}$ спіраль наближається до прямої лінії. Кут, що доповнює ${\displaystyle \varphi }$ до 90 °, називають нахилом спіралі.
• Розмір витків логарифмічної спіралі поступово збільшується, але їх форма залишається незмінною. Можливо, внаслідок цієї властивості, логарифмічна спіраль з'являється в багатьох зростаючих формах, подібних до мушель молюсків і квіток соняшників.

Цікаві факти

Надгробок Бернуллі

• Якоб Бернуллі бажав, щоб на його могилі було викарбувано логарифмічну спіраль, але на його надгробку помилково зобразили спіраль Архімеда. Проте напис, вигравіюваний навколо спіралі згідно з заповітом (лат. EADEM MUTATA RESURGO — «змінена, я знов воскресаю»), свідчить, що йдеться саме про логарифмічну спіраль, яка має властивість зберігати свою форму після різноманітних перетворень.

Галерея

• Мушля молюска за формою близька до логарифмічної спіралі
• Область низького тиску над Ісландією
• Спіральна галактика «Водоверть»
• Секція множини Мандельброта, що являє собою логарифмічну спіраль

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)

Примітки

1. Spirale logarithmique. [ 29 червня 2012 у Wayback Machine.] (фр.)