Лема Шварца

Лема Шварца — твердження в комплексному аналізі про властивості голоморфних функцій з одиничного круга комплексної площини в себе. Названа на честь німецького математика Германа Шварца. Узагальненням леми є теорема Шварца — Альфорса — Піка. Лема не так відома, як більш сильна теорема Рімана про відображення.

Формулювання

Нехай ${\displaystyle \Delta =\{z:|z|<1\}}$ — одиничний круг на комплексній площині ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Нехай функція ${\displaystyle f}$ голоморфна в ${\displaystyle \Delta }$ і задовольняє умови:

1. ${\displaystyle f(0)=0}$;
2. ${\displaystyle |f(z)|\leqslant 1,\,\forall z\in \Delta }$.

Тоді:

1. ${\displaystyle |f(z)|\leqslant |z|,\,\forall z\in \Delta }$;
2. ${\displaystyle |f'(0)|\leqslant 1}$.

Окрім того, якщо ${\displaystyle |f(z)|=|z|}$, для деякого ненульового ${\displaystyle z\in \Delta }$ або ${\displaystyle |f'(0)|=1}$ тоді ${\displaystyle f(z)=\alpha z}$ для деякого комплексного числа ${\displaystyle \alpha }$ для якого ${\displaystyle |\alpha |=1}$.

Доведення

Розглянемо функцію ${\displaystyle g(z)={\frac {f(z)}{z}}}$. Ця функція є голоморфною на множині ${\displaystyle \Delta \setminus 0}$.

Маємо також ${\displaystyle \lim _{z\rightarrow 0}g(z)=\lim _{z\rightarrow 0}{\frac {f(z)}{z}}=\lim _{z\rightarrow 0}{\frac {f(z)-f(0)}{z-0}}=f'(0)\,}$.

Визначивши ${\displaystyle g(0)=f'(0)}$, отримаємо голоморфну на всьому одиничному крузі функцію. Розглянемо замкнутий круг ${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }=\{z:|z|<1-\varepsilon \}}$ для довільного ${\displaystyle 0<\varepsilon \ll 1}$. На границі цього круга, ${\displaystyle |g(z)|\leqslant {\frac {1}{(1-\varepsilon )}}}$. З принципу максимуму модуля випливає, що ${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }=\{z:|z|\leqslant 1-\varepsilon \}}$ також для всіх ${\displaystyle z\in \Delta _{\varepsilon }}$. Якщо тепер направити ${\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0}$ то в результаті одержуємо ${\displaystyle |g(z)|\leqslant 1}$ для всіх ${\displaystyle z\in \Delta }$. Дана нерівність згідно означень рівносильна нерівності ${\displaystyle |f(z)|\leqslant |z|}$ для ${\displaystyle z\in \Delta \setminus 0}$ (для ${\displaystyle z=0,\,|f(z)|=0=|z|,}$ так що твердження леми автоматично виконується). Також згідно визначення ${\displaystyle g(0)=f'(0)}$ тому ${\displaystyle |f'(0)|=|g(0)|\leqslant 1}$.

Якщо тепер для деякого ненульового ${\displaystyle z\in \Delta }$ виконується ${\displaystyle |f(z)|=|z|}$ то ${\displaystyle |g(z)|=1.}$ Якщо ${\displaystyle |f'(0)|=1}$ тоді ${\displaystyle g(0)=1.}$ Оскільки ${\displaystyle |g(z)|\leqslant 1}$ для всіх ${\displaystyle z\in \Delta }$ то згідно принципу максимального модуля в обох цих випадках функція ${\displaystyle g(z)}$ є константою. Модуль цієї константи рівний 1. Якщо позначити цю константу ${\displaystyle \alpha }$ то маємо ${\displaystyle {\frac {f(z)}{z}}=g(z)\equiv \alpha ,}$ звідки ${\displaystyle f(z)=\alpha z.}$

Див. також

• Принцип максимуму модуля
• Теорема Бореля — Каратеодорі

Література

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002). Function Theory of One Complex Variable. Providence, R.I.: American Mathematical Society.