Кругове поле (поле поділу кола) — поле що одержується приєднанням до поля раціональних чисел первісного кореня з одиниці степеня n, де n — деяке натуральне число. Іноді (локальним) круговим полем називають також поле виду , де — поле раціональних р-адичних чисел. Оскільки при непарному n, звичайно вважається, що .
Тоді різним n відповідають неізоморфні поля .
Кругові поля влаштовані «достатньо просто» і тому дають зручний експериментальний матеріал для створення загальних понять теорії чисел. Наприклад, поняття цілого алгебраїчного числа виникли спочатку при розгляді кругових полів.
Властивості
- Кругове поле є полем розкладу многочлена
- Кругові поля природно виникають в задачі про поділ кола — поділ кола на n рівних частин еквівалентний побудові на комплексній площині первісного кореня .
- Місце кругових полів серед всіх полів алгебраїчних чисел визначає (теорема Кронекера — Вебера), що стверджує, що скінченне розширення K/Q є абелевим тоді і тільки тоді, коли для деякого n. Аналогічне твердження виконується і для локальних кругових полів.
- Поле є абелевим розширенням поля з групою Галуа
- де — мультиплікативна група кільця лишків по модулю n.
- Степінь розширення рівний φ(n), де φ(n) — функція Ейлера.
- Поле є цілком уявним і має степінь 2 над своїм максимальним цілком дійсним підполем
- Числа утворюють цілочисельний базис поля .
- Дискримінант поля рівний:
Див. також
- Корінь з одиниці
- (Многочлен поділу кола)
Література
- Круговое поле. Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 3./ Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1982
- Алгебраическая теория чисел. ред. Касселс Д., Фрёлих А. М.: Мир 1969
- Lawrence C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Mathematics, 83. Springer-Verlag, New York, 1982.
- Serge Lang, Cyclotomic Fields I and II, Combined second edition. Graduate Texts in Mathematics, 121. Springer-Verlag, New York, 1990.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет