Умова Куранта-Фрідріхса-Леві (КФЛ) - це необхідна умова для збіжності при чисельному розв'язуванні певних диференціальних рівнянь з частковими похідними (зазвичай гіперболічні РЧП) методом скінченних різниць. Вона виникає при чисельному аналізі схем інтеграції явно часу, коли вони використовуються для чисельного рішення. Як наслідок, в багатьох комп'ютерних моделюваннях, часовий крок повинен бути меншим, за певне значення, в іншому разі результати будуть неправильними. Умову названо в честь Річарда Куранта, Курта Фрідріха, і Ханса Льюї, які описали його в своїй статті 1928 р ..
Евристичний опис
Принципом умови є те, що, наприклад, якщо хвиля рухається по дискретній просторовій сітці, і ми хочемо, обчислити її амплітуду в різних часових проміжках однакової тривалості, то ця тривалість повинна бути менше, ніж час за який хвиля переходить в сусідні точки сітки. Як наслідок, коли відстань між точкою сітки зменшується, верхня межа для часового кроку також зменшується. По суті, чисельна область залежно від будь-якої точки в просторі і часі (як визначено початковими умовами і параметрами схеми апроксимації) повинні включати в себе аналітичну область залежності (в якій вихідні умови впливають на точне значенням розв'язку в цій точці), з тим, щоб гарантувати, що ця схема може отримати доступ до інформації, необхідної для утворення розв'язку.
Формулювання
Для того, щоб зробити досить формально точне формулювання умови, необхідно визначити наступні величини
- Просторова координата: це одна з координат з фізичного простору, в якому ставиться задача.
- Просторовий аспект проблеми: це число просторових вимірів, тобто кількість просторової координати фізичного простору, де ставиться завдання. Типові значення , і .
- Час: це координата, що діє як параметр, який описує еволюцію системи, відмінної від просторових координат.
Просторові координати і час повинні бути дискретно незалежними змінними, які розміщені на однаковій відстані називаються довжиною інтервалу і часовим кроком відповідно. Використовуючи ці означення, умова КФЛ це відношення довжини тимчасового кроку до функції довжин інтервалів кожної просторової координати і максимальної швидкості, з якою інформація може переміщатися в фізичному просторі.
Одновимірна випадок
Для одновимірного випадку, умова КФЛ має наступний вигляд:
де безрозмірне число називається число Куранти,
- - швидкість переносу (довжина / час)
- - часовий крок (час)
- - інтервал довжини (довжина).
Значення змінюється за допомогою методу, використовуваного для вирішення рівняння дискретизації, особливо в залежності від того, є метод явним чи неявним. Якщо явний, в розв'язуванні зазвичай використовується . Неявні методи, як правило менш чутливі до чисельної нестабільності, тому великих значень має бути достатньо.
Двох вимірний і n - мірний випадок
У двовимірному випадку умова КФЛ має вигляд
Значення змінних очевидні. За аналогією з двовимірним випадком, загальний вигляд КФЛ для - мірного випадку є наступним:
Довжина інтервалу не потрібна, бо вона однакова для кожної просторової змінної . Ці «ступені вільності» можна використати для того, щоб оптимізувати величину кроку по часу для конкретного завдання, шляхом зміни значень інтервалу для того, щоб він був не надто малим.
Наслідки умови КФЛ
Достатність умови КФЛ
Умова КФЛ є необхідною, але не достатньою, для збіжності різницевої апроксимації даної чисельної задачі. Таким чином, для того, щоб встановити збіжність кінцево-різницевої апроксимації, необхідно використовувати інші методи, які, в свою чергу, можуть давати додаткові обмеження на довжину кроку за часом і / або на довжини просторових інтервалів.
Нотатки
- Загалом, це не є достатньою умовою; Крім того, це може бути вимогливим умовою для деяких проблем. Дивіться «Наслідки цього CFL умови» даної статті для короткого огляду цих питань.
- Див посилання Courant, Friedrichs та Lewy, 1928 . Там існує також англійський переклад 1928 Німецький оригінал: див посилання Courant, Friedrichs та Lewy, 1956 і Courant, Friedrichs та Lewy, 1967 .
- Ця ситуація зазвичай виникає, коли частковий диференційний гіперболічний оператор був апроксимований рівнянням скінченних різниць, яке потім вирішується за допомогою чисельних методів лінійної алгебри.
- Ця величина не обов'язково є однаковою для кожної просторової змінної, як показано в розділі «Два і взагалі p - вимірний випадок» цього запису: він може бути обраний для того , щоб дещо послабити умову.
Посилання
- 3.
- Courant, R.; ; (September 1956) [1928], On the partial difference equations of mathematical physics, AEC Research and Development Report, т. NYO-7689, New York: AEC Computing and Applied Mathematics Centre – , с. V + 76, архів оригіналу за 23 жовтня 2008 :. Переклад з німецької Філліс Фокс. Це більш рання версія статті Courant, Friedrichs та Lewy, 1967, який був поширений як дослідницький звіт.
- 3. Вільно завантажувана копія може бути знайдена тут [ 20 жовтня 2012 у Wayback Machine.] .
- http://ami.lnu.edu.ua/wp-content/uploads/2013/10/Pi-120P.pdf [ 23 січня 2022 у Wayback Machine.]
Зовнішні посилання
- (2001), condition Courant–Friedrichs–Lewy condition, у Hazewinkel, Michiel (ред.), Математична енциклопедія, , ISBN
- Weisstein, Eric W. Courant-Friedrichs-Lewy Condition(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Umova Kuranta Fridrihsa Levi KFL ce neobhidna umova dlya zbizhnosti pri chiselnomu rozv yazuvanni pevnih diferencialnih rivnyan z chastkovimi pohidnimi zazvichaj giperbolichni RChP metodom skinchennih riznic Vona vinikaye pri chiselnomu analizi shem integraciyi yavno chasu koli voni vikoristovuyutsya dlya chiselnogo rishennya Yak naslidok v bagatoh komp yuternih modelyuvannyah chasovij krok povinen buti menshim za pevne znachennya v inshomu razi rezultati budut nepravilnimi Umovu nazvano v chest Richarda Kuranta Kurta Fridriha i Hansa Lyuyi yaki opisali jogo v svoyij statti 1928 r Evristichnij opisPrincipom umovi ye te sho napriklad yaksho hvilya ruhayetsya po diskretnij prostorovij sitci i mi hochemo obchisliti yiyi amplitudu v riznih chasovih promizhkah odnakovoyi trivalosti to cya trivalist povinna buti menshe nizh chas za yakij hvilya perehodit v susidni tochki sitki Yak naslidok koli vidstan mizh tochkoyu sitki zmenshuyetsya verhnya mezha dlya chasovogo kroku takozh zmenshuyetsya Po suti chiselna oblast zalezhno vid bud yakoyi tochki v prostori i chasi yak viznacheno pochatkovimi umovami i parametrami shemi aproksimaciyi povinni vklyuchati v sebe analitichnu oblast zalezhnosti v yakij vihidni umovi vplivayut na tochne znachennyam rozv yazku v cij tochci z tim shob garantuvati sho cya shema mozhe otrimati dostup do informaciyi neobhidnoyi dlya utvorennya rozv yazku FormulyuvannyaDlya togo shob zrobiti dosit formalno tochne formulyuvannya umovi neobhidno viznachiti nastupni velichini Prostorova koordinata ce odna z koordinat z fizichnogo prostoru v yakomu stavitsya zadacha Prostorovij aspekt problemi ce chislo n displaystyle n prostorovih vimiriv tobto kilkist prostorovoyi koordinati fizichnogo prostoru de stavitsya zavdannya Tipovi znachennya n 1 displaystyle n 1 n 2 displaystyle n 2 i n 3 displaystyle n 3 Chas ce koordinata sho diye yak parametr yakij opisuye evolyuciyu sistemi vidminnoyi vid prostorovih koordinat Prostorovi koordinati i chas povinni buti diskretno nezalezhnimi zminnimi yaki rozmisheni na odnakovij vidstani nazivayutsya dovzhinoyu intervalu i chasovim krokom vidpovidno Vikoristovuyuchi ci oznachennya umova KFL ce vidnoshennya dovzhini timchasovogo kroku do funkciyi dovzhin intervaliv kozhnoyi prostorovoyi koordinati i maksimalnoyi shvidkosti z yakoyu informaciya mozhe peremishatisya v fizichnomu prostori Odnovimirna vipadok Dlya odnovimirnogo vipadku umova KFL maye nastupnij viglyad C u D t D x C max displaystyle C frac u Delta t Delta x leq C max de bezrozmirne chislo nazivayetsya chislo Kuranti u displaystyle u shvidkist perenosu dovzhina chas D t displaystyle Delta t chasovij krok chas D x displaystyle Delta x interval dovzhini dovzhina Znachennya C max displaystyle C max zminyuyetsya za dopomogoyu metodu vikoristovuvanogo dlya virishennya rivnyannya diskretizaciyi osoblivo v zalezhnosti vid togo ye metod yavnim chi neyavnim Yaksho yavnij v rozv yazuvanni zazvichaj vikoristovuyetsya C max 1 displaystyle C max 1 Neyavni metodi yak pravilo mensh chutlivi do chiselnoyi nestabilnosti tomu velikih znachen C max displaystyle C max maye buti dostatno Dvoh vimirnij i n mirnij vipadok U dvovimirnomu vipadku umova KFL maye viglyad C u x D t D x u y D t D y C max displaystyle C frac u x Delta t Delta x frac u y Delta t Delta y leq C max Znachennya zminnih ochevidni Za analogiyeyu z dvovimirnim vipadkom zagalnij viglyad KFL dlya n displaystyle n mirnogo vipadku ye nastupnim C D t i 1 n u x i D x i C max displaystyle C Delta t sum i 1 n frac u x i Delta x i leq C max Dovzhina intervalu ne potribna bo vona odnakova dlya kozhnoyi prostorovoyi zminnoyi D x i i 1 n displaystyle Delta x i i 1 ldots n Ci stupeni vilnosti mozhna vikoristati dlya togo shob optimizuvati velichinu kroku po chasu dlya konkretnogo zavdannya shlyahom zmini znachen intervalu dlya togo shob vin buv ne nadto malim Naslidki umovi KFLDostatnist umovi KFL Umova KFL ye neobhidnoyu ale ne dostatnoyu dlya zbizhnosti riznicevoyi aproksimaciyi danoyi chiselnoyi zadachi Takim chinom dlya togo shob vstanoviti zbizhnist kincevo riznicevoyi aproksimaciyi neobhidno vikoristovuvati inshi metodi yaki v svoyu chergu mozhut davati dodatkovi obmezhennya na dovzhinu kroku za chasom i abo na dovzhini prostorovih intervaliv NotatkiZagalom ce ne ye dostatnoyu umovoyu Krim togo ce mozhe buti vimoglivim umovoyu dlya deyakih problem Divitsya Naslidki cogo CFL umovi danoyi statti dlya korotkogo oglyadu cih pitan Div posilannya Courant Friedrichs ta Lewy 1928 Tam isnuye takozh anglijskij pereklad 1928 Nimeckij original div posilannya Courant Friedrichs ta Lewy 1956 i Courant Friedrichs ta Lewy 1967 Cya situaciya zazvichaj vinikaye koli chastkovij diferencijnij giperbolichnij operator buv aproksimovanij rivnyannyam skinchennih riznic yake potim virishuyetsya za dopomogoyu chiselnih metodiv linijnoyi algebri Cya velichina ne obov yazkovo ye odnakovoyu dlya kozhnoyi prostorovoyi zminnoyi yak pokazano v rozdili Dva i vzagali p vimirnij vipadok cogo zapisu vin mozhe buti obranij dlya togo shob desho poslabiti umovu Posilannya3 Courant R September 1956 1928 On the partial difference equations of mathematical physics AEC Research and Development Report t NYO 7689 New York AEC Computing and Applied Mathematics Centre s V 76 arhiv originalu za 23 zhovtnya 2008 Pereklad z nimeckoyi Fillis Foks Ce bilsh rannya versiya statti Courant Friedrichs ta Lewy 1967 yakij buv poshirenij yak doslidnickij zvit 3 Vilno zavantazhuvana kopiya mozhe buti znajdena tut 20 zhovtnya 2012 u Wayback Machine http ami lnu edu ua wp content uploads 2013 10 Pi 120P pdf 23 sichnya 2022 u Wayback Machine Zovnishni posilannya 2001 condition Courant Friedrichs Lewy condition u Hazewinkel Michiel red Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4 Weisstein Eric W Courant Friedrichs Lewy Condition angl na sajti Wolfram MathWorld