Крите́рій Ейзенштейна — ознака незвідності многочлена в полі раціональних чисел. Названа на честь німецького математика Ґотхольда Ейзенштейна.
Формулювання
Нехай — многочлен з цілочисельними коефіцієнтами і для деякого простого числа p виконуються умови:
- ,
- для будь-якого і від 0 до n-1,
- .
Тоді многочлен є незвідним у полі раціональних чисел.
Доведення
Припустимо що: , де та многочлени ненульових степенів над . З леми Гауса випливає, що їх можна розглядати як многочлени над . Маємо:
По умові , тому або або , але не те і інше разом оскільки . Нехай і . Всі коефіцієнти не можуть ділитися на , оскільки інакше б це було б вірно і для . Нехай — мінімальний індекс, для якого не ділиться на . Маємо:
Оскільки і для всіх то , але це неможливо, оскільки по умові і . Теорема доведена.
Приклади
- Многочлен є незвідним в , з цього виходить неможливість вирішення задачі про подвоєння куба
- Многочлен є незвідним в . Справді, якщо він звідний, то звідним є і многочлен , а оскільки всі його коефіцієнти, окрім першого є біноміальними, тобто діляться на , а останній коефіцієнт до того ж не ділиться на то згідно з критерієм Ейзенштейна він є незвідним всупереч припущенню.
- Многочлен над є прикладом, що показує, що критерій Ейзенштейна є тільки достатньою, але не необхідною умовою. Дійсно, єдиний простий дільник вільного члена це , але 4 ділиться на — тому критерій Ейзенштейна тут не можна застосувати. З іншого боку, як многочлен 3 степеня без раціональних коренів, цей многочлен є незвідним.
Узагальнення
Нехай D — факторіальне кільце і — многочлен над D.
Нехай P ⊆ D — простий ідеал, такий що:
- ai ∈ P для i ≠ n,
- an ∉ P,
- a0 ∉ P2 (де P2 добуток ідеалу).
Тоді f(x) є незвідним в F[x], де F — поле часток D.
Посилання
- Критерій Ейзенштейна [ 5 березня 2010 у Wayback Machine.] на сайті PlanetMath.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Krite rij Ejzenshtejna oznaka nezvidnosti mnogochlena v poli racionalnih chisel Nazvana na chest nimeckogo matematika Gotholda Ejzenshtejna FormulyuvannyaNehaj a x a 0 a 1 x a n x n displaystyle a x a 0 a 1 x a n x n mnogochlen z cilochiselnimi koeficiyentami i dlya deyakogo prostogo chisla p vikonuyutsya umovi p a n displaystyle p not a n p a i displaystyle p a i dlya bud yakogo i vid 0 do n 1 p 2 a 0 displaystyle p 2 not a 0 Todi mnogochlen a x displaystyle a x ye nezvidnim u poli Q displaystyle mathbb Q racionalnih chisel DovedennyaPripustimo sho a x f x g x displaystyle a x f x g x de f x b 0 b 1 x b k x k displaystyle f x b 0 b 1 x b k x k ta g x c 0 c 1 x c m x m displaystyle g x c 0 c 1 x c m x m mnogochleni nenulovih stepeniv nad Q displaystyle mathbb Q Z lemi Gausa viplivaye sho yih mozhna rozglyadati yak mnogochleni nad Z displaystyle mathbb Z Mayemo a 0 b 0 c 0 displaystyle a 0 b 0 c 0 Po umovi p a 0 displaystyle p a 0 tomu abo p b 0 displaystyle p b 0 abo p c 0 displaystyle p c 0 ale ne te i inshe razom oskilki p 2 a 0 displaystyle p 2 not a 0 Nehaj p b 0 displaystyle p b 0 i p c 0 displaystyle p not c 0 Vsi koeficiyenti f x displaystyle f x ne mozhut dilitisya na p displaystyle p oskilki inakshe b ce bulo b virno i dlya a x displaystyle a x Nehaj i displaystyle i minimalnij indeks dlya yakogo b i displaystyle b i ne dilitsya na p displaystyle p Mayemo a i b i c 0 b i 1 c 1 displaystyle a i b i c 0 b i 1 c 1 Oskilki p a i displaystyle p a i i p b j displaystyle p b j dlya vsih j lt i displaystyle j lt i to p b i c 0 displaystyle p b i c 0 ale ce nemozhlivo oskilki po umovi p c 0 displaystyle p not c 0 i p b i displaystyle p not b i Teorema dovedena PrikladiMnogochlen x 3 2 displaystyle x 3 2 ye nezvidnim v Q displaystyle mathbb Q z cogo vihodit nemozhlivist virishennya zadachi pro podvoyennya kuba Mnogochlen f x x p 1 x p 2 1 displaystyle f x x p 1 x p 2 1 ye nezvidnim v Q displaystyle mathbb Q Spravdi yaksho vin zvidnij to zvidnim ye i mnogochlen f x 1 x 1 p 1 x 1 1 x p 1 C p 1 x p 2 C p p 1 displaystyle f x 1 frac x 1 p 1 x 1 1 x p 1 C p 1 x p 2 C p p 1 a oskilki vsi jogo koeficiyenti okrim pershogo ye binomialnimi tobto dilyatsya na p displaystyle p p C p k p p 1 p k 1 k displaystyle p C p k frac p p 1 p k 1 k a ostannij koeficiyent C p p 1 p displaystyle C p p 1 p do togo zh ne dilitsya na p 2 displaystyle p 2 to zgidno z kriteriyem Ejzenshtejna vin ye nezvidnim vsuperech pripushennyu Mnogochlen x 3 4 displaystyle x 3 4 nad Q displaystyle mathbb Q ye prikladom sho pokazuye sho kriterij Ejzenshtejna ye tilki dostatnoyu ale ne neobhidnoyu umovoyu Dijsno yedinij prostij dilnik vilnogo chlena ce p 2 displaystyle p 2 ale 4 dilitsya na 2 2 displaystyle 2 2 tomu kriterij Ejzenshtejna tut ne mozhna zastosuvati Z inshogo boku yak mnogochlen 3 stepenya bez racionalnih koreniv cej mnogochlen ye nezvidnim UzagalnennyaNehaj D faktorialne kilce i f x i 0 n a i x i displaystyle f x sum i 0 n a i x i mnogochlen nad D Nehaj P D prostij ideal takij sho ai P dlya i n an P a0 P2 de P2 dobutok idealu Todi f x ye nezvidnim v F x de F pole chastok D PosilannyaKriterij Ejzenshtejna 5 bereznya 2010 u Wayback Machine na sajti PlanetMath