Критерій Андронова — Понтрягіна — необхідна і достатня умова стійкості динамічних систем на площині. Вивели 1937 року Олександр Андронов і Лев Понтрягін.
Твердження
де — -векторне поле на площині, , є орбітально топологічно стабільною тоді й лише тоді, коли виконуються такі дві умови:
- Усі точки рівноваги та періодичні орбіти гіперболічні.
- Сідлові з'єднання відсутні.
Те саме твердження справедливе, якщо векторне поле визначене на одиничному крузі і трансверсальне до межі.
Уточнення
Орбітальна топологічна стійкість динамічної системи означає, що для будь-якого досить малого збурення (в C1-метриці) існує гомеоморфізм, близький до тотожного відображення, який перетворює орбіти початкової динамічної системи на орбіти збуреної системи (пор. структурна стійкість).
Перша умова теореми відома як глобальна гіперболічність. Нуль векторного поля v, тобто точка x0, де v(x0)=0, називають гіперболічним, якщо жодне зі власних значень лінеаризації v за x0 не є чисто уявним. Періодичну орбіту потоку називають гіперболічною, якщо абсолютна величина жодного зі власних значень відображення Пуанкаре в точці на орбіті не дорівнює одиниці.
Нарешті, сідловий зв'язок стосується ситуації, коли орбіта з однієї сідлової точки входить у ту саму або іншу сідлову точку, тобто нестабільна та стабільна [en] з'єднані (пор. [en] та [en]).
Література
- Андронов, А. А.; Понтрягин Л. С. (1937). Грубые системы [Грубі системи]. [ru]. 14 (5): 247—250. Процитовано в Kuznetsov, (2004).
- Kuznetsov, Yuri A. (2004). Elements of Applied Bifurcation Theory. Springer. ISBN .. Див. теорему 2.5.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Kriterij Andronova Pontryagina neobhidna i dostatnya umova stijkosti dinamichnih sistem na ploshini Viveli 1937 roku Oleksandr Andronov i Lev Pontryagin TverdzhennyaDinamichna sistema x v x displaystyle dot x v x de v displaystyle v C 1 displaystyle C 1 vektorne pole na ploshini x R 2 displaystyle x in mathbb R 2 ye orbitalno topologichno stabilnoyu todi j lishe todi koli vikonuyutsya taki dvi umovi Usi tochki rivnovagi ta periodichni orbiti giperbolichni Sidlovi z yednannya vidsutni Te same tverdzhennya spravedlive yaksho vektorne pole v displaystyle v viznachene na odinichnomu kruzi i transversalne do mezhi UtochnennyaOrbitalna topologichna stijkist dinamichnoyi sistemi oznachaye sho dlya bud yakogo dosit malogo zburennya v C1 metrici isnuye gomeomorfizm blizkij do totozhnogo vidobrazhennya yakij peretvoryuye orbiti pochatkovoyi dinamichnoyi sistemi na orbiti zburenoyi sistemi por strukturna stijkist Persha umova teoremi vidoma yak globalna giperbolichnist Nul vektornogo polya v tobto tochka x0 de v x0 0 nazivayut giperbolichnim yaksho zhodne zi vlasnih znachen linearizaciyi v za x0 ne ye chisto uyavnim Periodichnu orbitu potoku nazivayut giperbolichnoyu yaksho absolyutna velichina zhodnogo zi vlasnih znachen vidobrazhennya Puankare v tochci na orbiti ne dorivnyuye odinici Nareshti sidlovij zv yazok stosuyetsya situaciyi koli orbita z odniyeyi sidlovoyi tochki vhodit u tu samu abo inshu sidlovu tochku tobto nestabilna ta stabilna en z yednani por en ta en LiteraturaAndronov A A Pontryagin L S 1937 Grubye sistemy Grubi sistemi ru 14 5 247 250 Procitovano v Kuznetsov 2004 Kuznetsov Yuri A 2004 Elements of Applied Bifurcation Theory Springer ISBN 978 0 387 21906 6 Div teoremu 2 5