Означення
Нехай на площині задана неперервна крива довжини . Розглянемо неперервну функцію , задану в точках дуги . Розіб’ємо криву точками на довільних дуг з довжинами відповідно .
Виберемо на кожній дузі довільну точку і складемо суму:
.
Її називають інтегральною сумою для функції по кривій .
Нехай - найбільша із довжин дуг поділу. Якщо () існує скінченна границя інтегральних сум, то її називають криволінійним інтегралом від функції по довжині кривої , або криволінійним інтегралом І роду від функції по кривій і позначають
або .
Таким чином, за означенням:
.
Теорема про існування криволінійного інтеграла І роду
Якщо функція неперервна в кожній точці гладкої кривої (в кожній точці існує дотична до даної кривої і її положення неперервно змінюється при переміщенні точки по кривій), то криволінійний інтеграл І роду існує і його величина не залежить ні від способу розбиття кривої на частини, ні від вибору точок на них.
Властивості криволінійного інтеграла І роду
. , тобто криволінійний інтеграл І роду не залежить від напрямку інтегрування.
. , тобто сталий множник можна виносити за знак інтеграла.
. , тобто інтеграл суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) інтегралів.
. , якщо шлях інтегрування розбито на частини і такі, що і та мають єдину спільну точку.
. Якщо для точок кривої виконується нерівність , то
. , де - довжина кривої .
. Якщо функція неперервна на кривій , то на цій кривій знайдеться точка така, що (теорема про середнє).
Обчислення криволінійного інтеграла І роду
Параметричне задання кривої інтегрування
Нехай в тривимірному просторі задана гладка дуга в параметричному вигляді:
,
тобто , , є неперервними на . То криволінійний інтеграл 1 роду по даній кривій:
Для двовимірного випадку:
Явне задання кривої інтегрування
Явне задання кривої: , : f x y dl f x y x y x dx
Полярне задання кривої інтегрування
Нехай в полярній системі координат крива задана функцією
То криволінійний інтеграл 1-го роду по даній кривій:
Застосування криволінійного інтеграла І роду
Визначення маси кривої
Визначення довжини кривої
Див. також
Інтеграл
Криволінійний інтеграл
Криволінійний інтеграл II роду
Література
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
OznachennyaNehaj na ploshini 0 x y displaystyle 0xy zadana neperervna kriva A B displaystyle AB dovzhini l displaystyle l Rozglyanemo neperervnu funkciyu f x y displaystyle f x y zadanu v tochkah dugi A B displaystyle AB Rozib yemo krivu A B displaystyle AB tochkami M 0 A M 1 M 2 M n B displaystyle M 0 A M 1 M 2 M n B na n displaystyle n dovilnih dug M i 1 M i displaystyle M i 1 M i z dovzhinami vidpovidno D l i i 1 2 n displaystyle Delta l i i 1 2 n Viberemo na kozhnij duzi M i 1 M i displaystyle M i 1 M i dovilnu tochku x i y i displaystyle x i y i i sklademo sumu i 1 n f x i y i D l i displaystyle sum i 1 n f x i y i Delta l i Yiyi nazivayut integralnoyu sumoyu dlya funkciyi f x y displaystyle f x y po krivij A B displaystyle AB Nehaj l m a x D l i 1 i n displaystyle lambda max Delta l i 1 leq i leq n najbilsha iz dovzhin dug podilu Yaksho l 0 displaystyle lambda rightarrow 0 n displaystyle n rightarrow infty isnuye skinchenna granicya integralnih sum to yiyi nazivayut krivolinijnim integralom vid funkciyi f x y displaystyle f x y po dovzhini krivoyi A B displaystyle AB abo krivolinijnim integralom I rodu vid funkciyi f x y displaystyle f x y po krivij A B displaystyle AB i poznachayut A B f x y d l displaystyle int AB f x y dl abo L f x y d l displaystyle int L f x y dl Takim chinom za oznachennyam A B f x y d l lim n i 1 n f x i y i D l i displaystyle int AB f x y dl lim n to infty sum i 1 n f x i y i Delta l i Teorema pro isnuvannya krivolinijnogo integrala I roduYaksho funkciya f x y displaystyle f x y neperervna v kozhnij tochci gladkoyi krivoyi v kozhnij tochci x y L displaystyle x y in L isnuye dotichna do danoyi krivoyi i yiyi polozhennya neperervno zminyuyetsya pri peremishenni tochki po krivij to krivolinijnij integral I rodu isnuye i jogo velichina ne zalezhit ni vid sposobu rozbittya krivoyi na chastini ni vid viboru tochok na nih Vlastivosti krivolinijnogo integrala I rodu1 displaystyle 1 A B f x y d l B A f x y d l displaystyle int AB f x y dl int BA f x y dl tobto krivolinijnij integral I rodu ne zalezhit vid napryamku integruvannya 2 displaystyle 2 L c f x y d l c L f x y d l c c o n s t displaystyle int L c cdot f x y dl c cdot int L f x y dl c const tobto stalij mnozhnik mozhna vinositi za znak integrala 3 displaystyle 3 L f 1 x y f 2 x y d l L f 1 x y d l L f 2 x y d l displaystyle int L f 1 x y pm f 2 x y dl int L f 1 x y dl pm int L f 2 x y dl tobto integral sumi riznici dorivnyuye sumi riznici integraliv 4 displaystyle 4 L f x y d l L 1 f x y d l L 2 f x y d l displaystyle int L f x y dl int L 1 f x y dl int L 2 f x y dl yaksho shlyah integruvannya L displaystyle L rozbito na chastini L 1 displaystyle L 1 i L 2 displaystyle L 2 taki sho L L 1 L 2 displaystyle L L 1 bigcup L 2 i L 1 displaystyle L 1 ta L 2 displaystyle L 2 mayut yedinu spilnu tochku 5 displaystyle 5 Yaksho dlya tochok krivoyi L displaystyle L vikonuyetsya nerivnist f 1 x y f 2 x y displaystyle f 1 x y leq f 2 x y to L f 1 x y d l L f 2 x y d l displaystyle int L f 1 x y dl leq int L f 2 x y dl 6 displaystyle 6 A B d l lim n i 1 n D l i l displaystyle int AB dl lim n to infty sum i 1 n Delta l i l de l displaystyle l dovzhina krivoyi A B displaystyle AB 7 displaystyle 7 Yaksho funkciya f x y displaystyle f x y neperervna na krivij A B displaystyle AB to na cij krivij znajdetsya tochka x c y c displaystyle x c y c taka sho A B f x y d l f x c y c l displaystyle int AB f x y dl f x c y c cdot l teorema pro serednye Obchislennya krivolinijnogo integrala I roduParametrichne zadannya krivoyi integruvannya Nehaj v trivimirnomu prostori zadana gladka duga A B displaystyle AB v parametrichnomu viglyadi L A B x x t y y t z z t a t b displaystyle L breve AB begin cases x x t y y t z z t end cases alpha leq t leq beta tobto x t displaystyle x t y t displaystyle y t z t displaystyle z t ye neperervnimi na a b displaystyle alpha beta To krivolinijnij integral 1 rodu po danij krivij L f x y z d l a b f x t y t z t x t 2 y t 2 z t 2 d t displaystyle int L f x y z dl int alpha beta f x t y t z t sqrt x t 2 y t 2 z t 2 dt Dlya dvovimirnogo vipadku L f x y d l a b f x t y t x t 2 y t 2 d t displaystyle int L f x y dl int alpha beta f x t y t sqrt x t 2 y t 2 dt Yavne zadannya krivoyi integruvannya Yavne zadannya krivoyi y y x displaystyle y y x x a b displaystyle x in a b f x y dl f x y x y x dx Polyarne zadannya krivoyi integruvannya Nehaj v polyarnij sistemi koordinat kriva zadana funkciyeyu r r ϕ ϕ 1 ϕ ϕ 2 displaystyle rho rho phi phi 1 leq phi leq phi 2 To krivolinijnij integral 1 go rodu po danij krivij L f x y d l ϕ 1 ϕ 2 f r ϕ c o s ϕ r ϕ s i n ϕ r 2 r ϕ 2 d ϕ displaystyle int L f x y dl int phi 1 phi 2 f rho phi cos phi rho phi sin phi sqrt rho 2 rho phi 2 d phi Zastosuvannya krivolinijnogo integrala I roduViznachennya masi krivoyi Viznachennya dovzhini krivoyiDiv takozhIntegral Krivolinijnij integral Krivolinijnij integral II roduLiteraturaGrigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2200 s ukr