Криволінійний інтеграл II роду

Означення

Нехай на площині Oxy задана неперервна крива AB довжини і функція P(x;y), визначена в кожній точці кривої. Розіб’ємо криву AB точками M₀=A, M₁, M₂,..., M_n=B в напрямі від точки A до точки B на n довільних дуг M_i-1M_i з довжинами відповідно Δl_i (i=1; 2;...; n). Виберемо на кожній елементарній дузі M_i-1M_i довільну точку (x_i; y_i) і складемо суму
${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}P(x_{i};y_{i})\Delta x_{i}}$,
де ${\displaystyle \Delta x_{i}-x_{i-1}}$ - проєкція дуги M_i-1M_i на вісь Ox. Таку суму називають інтегральною сумою для функції P(x;y) по змінній x. Нехай ${\displaystyle \lambda =max\Delta l_{i},1\leq i\leq n}$ - найбільша із довжин дуг поділу. Якщо ${\displaystyle \lambda \rightarrow 0}$ (${\displaystyle n\rightarrow \infty }$) і існує скінченна границя інтегральних сум, що не залежить від способу розбиття кривої AB і вибору точок (x_i;y_i) , то її називають криволінійним інтегралом по координаті x (або II роду) від функції P(x;y) по кривій AB і позначають
${\displaystyle \int _{AB}P(x;y)\,dl}$ або ${\displaystyle \int _{L}P(x;y)\,dl}$.
Таким чином, за означенням
${\displaystyle \int _{AB}P(x;y)\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}P(x_{i};y_{i})\Delta x_{i}}$.
Аналогічно виводиться інтеграл від функції Q(x;y) по координаті y:
${\displaystyle \int _{AB}Q(x;y)\,dy=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}Q(x_{i};y_{i})\Delta y_{i}}$,
де ${\displaystyle \Delta y_{i}}$ - проєкція дуги M_i-1M_i на вісь Oy.
Криволінійний інтеграл ІІ роду в загальному вигляді на площині:
${\displaystyle \int _{AB}P(x;y)\,dx+Q(x;y)\,dy=\int _{AB}P(x;y)\,dx+\int _{AB}Q(x;y)\,dy}$
Криволінійний інтеграл ІІ роду по кривій в тривимірному просторі визначається аналогічно:
${\displaystyle \int _{AB}P(x;y;z)\,dx+Q(x;y;z)\,dy+R(x;y;z)\,dz}$

Теорема про існування

Властивості криволінійного інтеграла ІІ роду

1) (Лінійність). Якщо існують інтеграли ( ) 1, AB a dr ò r r і ( ) 2, AB a dr ò r r , то для будь-яких дійсних a і b існує інтеграл ( ) 1 2, AB a + b a a dr ò r r r , причому ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 , , , AB AB AB a + b = a + b a a dr a dr a dr ò ò ò r r r r r r r .

2) (Адитивність). Якщо крива AB AC CB = È і існує криволінійний інтеграл ( ) , AB a dr ò r r , то існують інтеграли ò r r і ( ) , CB a dr ò r r , причому ( ) ( ) ( ) , , , AB AC CB ò ò ò a dr a dr a dr = + r r r r r r . 3) Криволінійний інтеграл другого роду залежить від орієнтації кривої, тобто ( ) ( ) , , AB BA ò ò a dr a dr = - r r r r .

Обчислення криволінійного інтегралу ІІ роду

Параметричне задання кривої інтегрування

Явне задання кривої інтегрування

Формула Ґріна

Основна стаття:

Нехай функція Р(х,у) та її частинна похідна dP(x,y)/dy неперервна в області D і на її межі.Функції у=у1(х) , у=у2(х) неперервні на [a,b].Тоді обчислимо :

Подвійний інтеграл по D dP(x,у)/dy*dxdy=...

Застосування криволінійного інтегралу ІІ роду

Застосовується на екзаменах у вищих навчальних закладах.

Див. також

• Інтеграл
• Криволінійний інтеграл
• Криволінійний інтеграл І роду

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)