Клас Линника I 0

Клас Линника ${\displaystyle I_{0}}$— одне з центральних понять в арифметиці ймовірнісних розподілів.

Дотримуючись Ю.В.Линника, клас розподілів, які не мають нерозкладних подільників, позначимо через ${\displaystyle I_{0}}$. Нехай ${\displaystyle \mu \in I_{0}}$. Тоді, згідно з другою теоремою Хінчина розподіл ${\displaystyle \mu \in I_{0}}$ безмежно подільний, а отже, за формулою Леві характеристична функція ${\displaystyle \mu \in I_{0}}$ може бути представлена у вигляді

${\displaystyle {\hat {\mu }}(s)=\exp \left\{is\beta -\sigma s^{2}+\int \limits _{\mathbb {R} \backslash \{0\}}\left(e^{ixs}-1-{ixs \over 1+x^{2}}\right)dF(x)\right\},}$ (1)

де  ${\displaystyle \beta \in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \sigma \geq 0}$, ${\displaystyle F}$ — цілком ${\displaystyle \sigma }$-скінченна міра, яка задовольняє умові

${\displaystyle \int \limits _{\mathbb {R} \backslash \{0\}}{x^{2} \over {1+x^{2}}}dF(x)<\infty .}$

Міра ${\displaystyle F}$ називається безмежно подільного розподілу ${\displaystyle \mu }$.

Центральна проблема арифметики ймовірнісних розподілів полягає в знаходженні умов на ${\displaystyle \sigma }$ та ${\displaystyle F}$, які є необхідними або достатніми для того, щоб безмежно подільний розподіл ${\displaystyle \mu }$ належав класу ${\displaystyle I_{0}}$.

Позначимо через ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ клас безмежно подільних розподілів ${\displaystyle \mu }$, які мають ту властивість, що спектральна міра Леві ${\displaystyle F}$ в (1) дискретна та зосереджена на множині виду

${\displaystyle \{\mu _{k1}\}_{k=-\infty }^{\infty }\cup \{\mu _{k2}\}_{k=-\infty }^{\infty }}$,

де ${\displaystyle \mu _{k1}>0}$, ${\displaystyle \mu _{k2}<0}$, а числа ${\displaystyle \mu _{k+1,r}/\mu _{k,r}}$, ${\displaystyle r=1,2}$, ${\displaystyle k=0,\pm 1,\pm 2,\dots }$— натуральні, відмінні від 1.

Теорема Линника про клас ${\displaystyle I_{0}}$

Нехай ${\displaystyle \mu }$ — безмежно подільний розподіл та в формулі (1) ${\displaystyle \sigma >0}$. Якщо ${\displaystyle \mu \in I_{0}}$, то ${\displaystyle \mu \in {\mathfrak {L}}}$. [1]

Існують розподіли, що належать класу ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ і не належать ${\displaystyle I_{0}}$. Відповідний приклад побудований в роботі А.А. Гольдберга та Й.В. Островського [2]. З іншого боку, при додатковому припущенні про швидке спадання величини ${\displaystyle \int \limits _{|x|>y}dF(x)}$ при ${\displaystyle y\rightarrow \infty }$ приналежність класу ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ тягне приналежність класу ${\displaystyle I_{0}}$ [3, розділ V].

Наведемо два важливих результати про приналежність класу ${\displaystyle I_{0}}$ узагальненого розподілу Пуассона, тобто безмежно подільного розподілу ${\displaystyle \mu }$, у якого в (1) ${\displaystyle \sigma =0}$, а спектральна міра Леві ${\displaystyle F}$ майже скінченна.

Теорема 1 про приналежність класу ${\displaystyle I_{0}}$ узагальненого розподілу Пуассона.

Припустимо, що в (1) ${\displaystyle \sigma =0}$, спектральна міра Леві ${\displaystyle F}$ цілком скінченна та зосереджена на інтервалі ${\displaystyle (a,b)}$, де ${\displaystyle 0<a<b\leq 2a}$. Тоді ${\displaystyle \mu \in I_{0}}$. [4].

Теорема 2 про приналежність класу ${\displaystyle I_{0}}$ узагальненого розподілу Пуассона.

Припустимо, що в (1) ${\displaystyle \sigma =0}$, спектральна міра Леві ${\displaystyle F}$ цілком скінченна та зосереджена на множині з незалежними точками. Тоді ${\displaystyle \mu \in I_{0}}$. [5].

Властивості класу ${\displaystyle I_{0}}$ як підмножини в класі усіх безмежно подільних розподілів.

1. Клас ${\displaystyle I_{0}}$ щільний в слабкій топології в класі усіх безмежно подільних розподілів. [6].
2. Будь-який безмежно подільний розподіл можна представити у вигляді скінченної або нескінченної згортки розподілів, які належать класу ${\displaystyle I_{0}}$. [4].

Література

1. Линник Ю.В. Общие теоремы о разложении безгранично делимых законов. I, Теория вероятностей и ее применения, 3, вып. 1, (1958), 3-40.
2. А.А. Гольдберг, И.В. Островский. Применение теоремы У.К. Хеймана к одному вопросу теории разложений вероятностных законов. Украинский математический журнал, 19, № 3, (1967), 104-106.
3. Линник Ю. В., Островский И. В. Разложения случайных величин и векторов. — М.: Наука, 1972.
4. Островский  И.В. О разложениях безгранично делимых законов без гауссовой компоненты. ДАН СССР, 161, № 1, (1965), 48-51.
5. Cuppens, R. Ensembles indépendants et décomposition des fonctions caractéristiques. C. R. Acad. Sci. Paris S\'er. A-B 272, (1971) A1464–A1466.
6. Островский  И.В. О некоторых классах безгранично делимых законов. ИАН СССР, серия. матем. 34, № 4, (1970), 923-944.