Квантовий рух у прямокутній потенційній ямі

Квантовий рух у прямокутній потенційній ямі - задача квантової механіки що вивчає рух частинки в потенціальній ямі прямокутної форми та з нескінченно високими стінками.

Деякі траєкторії руху частки в одномірному ящику згідно з механікою Ньютона (A), та згідно з рівнянням Шредінгера та квантовою механікою (B-F). У випадку (B-F), горизонтальна вісь відображає позицію частки, а вертикальні осі - реальну частину (голубі) та уявну частину (червоні) хвильової функції. Стани (B,C,D) відображають енергетичні стани, проте (E,F) - ні.

Задача знаходження стаціонарних станів руху частки маси ${\displaystyle \mu }$ в зовнішньому потенціальному полі зводиться до знаходження власних значень оператора енергії, тобто до розв'язку рівняння Шредінгера:

${\displaystyle \left\{\Delta ^{2}+{\frac {2\mu }{\hbar \;^{2}}}[E-U({\vec {r}})]\right\}\psi =0}$.

Це рівняння є лінійним диференційним рівнянням другого порядку. Точні аналітичні розв'язки можуть бути знайдені тільки для деяких видів оператора потенційної енергії. Очевидно, що задача знаходження хвильових функцій рівняння Шредінгера у випадку прямокутної потенційної ями належить до найпростіших, і тому для неї можна знайти точні аналітичні розв'язки. В цьому випадку хвильова функція має розриви в точках стрибкоподібної зміни потенціальної енергії. Тому в цих точках необхідно проводити зшивання хвильових функцій, щоб забезпечити їх неперервність. Якщо енергія частки обмежена і стрибок потенційної енергії на поверхні розриву скінченний, то із рівняння Шредінгера випливає необхідність неперервності і ${\displaystyle \nabla \psi }$ на поверхні розриву. Таким чином, граничні умови на поверхні ${\displaystyle \sigma }$ зі скінченним стрибком потенціалу зводяться до вимоги:

${\displaystyle \psi }$ та ${\displaystyle \nabla \psi }$ неперервні на ${\displaystyle \sigma }$

Одновимірна прямокутна яма

Розглянемо частинку, яка рухається в потенціальному полі прямокутної форми:

${\displaystyle U(x)={\begin{cases}0,&-a/2\leq \;x\leq \;a/2,\\U_{0},&x<-a/2,x>a/2\end{cases}}}$

В цьому випадку рівняння Шредінгера зводиться до одновимірного рівняння:

${\displaystyle \left\{{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {2\mu }{\hbar \;^{2}}}[\epsilon -U(x)]\right\}\psi (x)=0}$.

В цьому випадку, внаслідок симетричного вибору системи координат, потенційна енергія та оператор Гамільтона інваріантні відносно перетворення інверсії ${\displaystyle x\to \;-x}$, і тому всі стаціонарні стани відносяться або до станів позитивної парності, або до станів з негативною парністю. Такий вибір системи координат у значній мірі спрощує розв'язок задачі, оскільки досить знайти розв'язок тільки для області позитивних значень ${\displaystyle x}$, тобто в області ${\displaystyle 0\leq \;x<\infty }$. Хвильові функції станів негативної парності повинні приймати нульове значення в точці ${\displaystyle x=0}$; для станів позитивної парності при ${\displaystyle x=0}$ повинна приймати нульове значення похідна хвильової функції по координаті.

Будемо відраховувати енергію відносно "дна" потенціальної ями, тоді енергія ${\displaystyle \epsilon \geq \;0}$. Розглянемо значення енергії ${\displaystyle \epsilon <U_{0}}$. Нехай далі:

${\displaystyle k^{2}={\frac {2\mu \epsilon }{\hbar \;^{2}}},\gamma ^{2}={\frac {2\mu }{\hbar \;^{2}}}(U_{0}-\epsilon ).}$

Тоді одновимірне рівняння Шредінгера можна переписати у вигляді:

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}+k^{2}\right)\psi _{I},0\leq \;x\leq \;a/2;}$

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}-\gamma ^{2}\right)\psi _{I},;x\geq \;a/2;}$

Скінченні розв'язки ${\displaystyle \psi _{II}}$ при ${\displaystyle x\to \;\infty }$ можна записати у вигляді

${\displaystyle \psi _{II}=Ae^{-\gamma x}}$.

А розв'язки ${\displaystyle \psi _{I}}$, які відповідають станам позитивної парності, будуть:

${\displaystyle \psi _{I}^{(+)}=B\cos kx}$.

Для станів негативної парності маємо:

${\displaystyle \psi _{I}^{(-)}=C\sin kx}$

Розглянемо спершу стани позитивної парності. Із умови неперервності ${\displaystyle \psi }$ та ${\displaystyle {\frac {d\psi }{dx}}}$ в точці ${\displaystyle x=a/2}$ випливає два однорідних рівняння для визначення ${\displaystyle A}$ та ${\displaystyle B}$:

${\displaystyle B\cos(ka/2)=Ae^{-\gamma a/2},}$

${\displaystyle B\sin(ka/2)={\frac {\gamma }{k}}Ae^{-\gamma a/2}.}$

Ця система рівнянь має відмінні від нуля розв'язки тільки при умові:

${\displaystyle k\tan(ka/2)=\gamma ={\sqrt {{\frac {2\mu U_{0}}{\hbar \;^{2}}}-k^{2}}}}$.

Оскільки тангенс є періодична функція із періодом ${\displaystyle \pi }$, то це рівняння можна перетворити до вигляду:

${\displaystyle ka=n\pi -2\arcsin \left({\frac {\hbar \;k}{\sqrt {2\mu U_{0}}}}\right)}$

де ${\displaystyle n=1,3,\dots ;}$ значення арксинуса необхідно брати в інтервалі ${\displaystyle 0,\pi /2}$. Останнє рівняння є трансцендентним по формі і визначальним для позитивних значень хвильового числа ${\displaystyle k}$. Тому можливі рівні енергії, які відповідають станам з позитивною парністю. Оскільки аргумент арксинуса не може перевищувати 1, то значення ${\displaystyle k}$ можуть лежати тільки в інтервалі ${\displaystyle 0\leq \;k\leq \;{\frac {\sqrt {2\mu U_{0}}}{\hbar \;}}}$. Значення ${\displaystyle k_{n}}$, що задовольняють це рівняння при ${\displaystyle n=1,3,\dots ;}$ відповідають точкам перетину прямої ${\displaystyle ka}$ та монотонно спадаючих кривих

${\displaystyle \zeta _{n}(k)=n\pi -2\arcsin \left({\frac {\hbar \;k}{\sqrt {2\mu U_{0}}}}\right).}$.

Особливо простий вигляд мають розв'язки останнього рівняння для нескінченно великих значень ${\displaystyle U_{0}}$ (${\displaystyle U_{0}\gg \;\epsilon }$). У цьому разі

${\displaystyle \arcsin \left({\frac {\hbar \;k}{\sqrt {2\mu U_{0}}}}\right)\approx \;0}$

та ${\displaystyle {\frac {\pi }{a}}n,}$ де ${\displaystyle n=1,3,\dots ;}$ При цьому енергія частки

${\displaystyle \epsilon _{n}^{(+)}={\frac {\pi ^{2}\hbar \;^{2}}{2\mu a^{2}}}n^{2}}$, ${\displaystyle n}$ непарне.

Хвильові функції ${\displaystyle \psi _{II}=0}$. А хвильові функції всередині ями, нормовані умовою:

${\displaystyle \int _{-a/2}^{a/2}|\psi _{I}|^{2}\,dx=1,}$

мають вигляд

${\displaystyle \psi _{I}^{(+)}={\sqrt {\frac {2}{a}}}\cos \left({\frac {\pi n}{a}}x\right)}$, ${\displaystyle n}$ непарне.

Для станів з негативною парністю умови неперервності ${\displaystyle \psi }$ та ${\displaystyle {\frac {d\psi }{dx}}}$ у точках ${\displaystyle x=a/2}$ приводять до системи рівнянь:

${\displaystyle C\sin ka/2=Ae^{-\gamma a/2},}$

${\displaystyle C\cos ka/2=-{\frac {\gamma }{k}}Ae^{-\gamma a/2},}$

Із умови розв'язності цієї системи рівнянь маємо:

${\displaystyle k\cot ka/2=-\gamma .}$

Враховуючи періодичність котангенса, можна отримати рівняння, що за формою збігається з трансцендентним попереднім рівнянням. При ${\displaystyle n=2,4,6,\dots }$ воно визначає значення ${\displaystyle k_{n}}$, які відповідають дискретним станам негативної парності.

Таким чином, дискретні рівні енергії частки в симетричній потенційній ямі виражаються формулою

${\displaystyle \epsilon _{n}={\frac {\hbar \;^{2}k_{n}^{2}}{2\mu a^{2}}}}$, де ${\displaystyle k_{n}}$ визначаються точками перетину прямої ${\displaystyle ka}$ та монотонно спадаючими функціями рівняння із арксинусом. Значення ${\displaystyle n=1,3,\dots ;}$ відповідають станам позитивної парності, а значення ${\displaystyle n=2,4,6,\dots }$ відповідають станам негативної парності.

Двовимірна прямокутна яма

Тривимірна прямокутна яма

Література

• Давидов О. С. Квантова механіка. — К. : Академперіодика, 2012. — 706 с.

Посилання

• Scienceworld [ 7 Квітня 2006 у Wayback Machine.] (Infinite Potential Well)
• Scienceworld [ 2 Липня 2017 у Wayback Machine.] (Finite Potential Well)
• 1-D quantum mechanics java applet [ 2 Червня 2008 у Wayback Machine.] simulates particle in a box, as well as other 1-dimensional cases.
• 2-D particle in a box applet [ 9 Травня 2008 у Wayback Machine.]

Див. також

• Рівні Ландау
• Квантовий осцилятор
• Рівні Ландау