Картина Шредінгера

Картина Шредінгера — один із способів опису квантовомеханічних явищ, запропонований Ервіном Шредінгером у 1926 році. За Шредінгером залежність від часу закладена до хвильової функції, а оператори фізичних величин залишаються сталими.

Оператор еволюції

Еволюція системи визначається унітарним оператором — оператором еволюції ${\displaystyle U(t,t_{0})}$, що описує зміну системи між початком відліку часу ${\displaystyle t_{0}}$ і кінцевим моментом часу ${\displaystyle t}$. Оператор еволюції діє на хвильову функцію таким чином:

${\displaystyle |\psi _{S}(t)\rangle ={\hat {U}}(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle ,}$

${\displaystyle \langle \psi _{S}(t)|=\langle \psi (t_{0})|{\hat {U}}^{\dagger }(t,t_{0}).}$

Відповідно, оператор фізичної величини не змінюється в часі:

${\displaystyle {\hat {A}}_{S}(t)={\hat {A}}_{S}(t_{0}).}$

Рівняння Шредінгера

Якщо вважати, що початок відліку часу ${\displaystyle t_{0}=0}$, можна записати рівняння Шредінгера таким чином:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \left|\psi _{S}(t)\right\rangle }{\partial t}}={\hat {H}}\left|\psi _{S}(t)\right\rangle .}$

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}{\hat {U}}(t)\left|\psi (0)\right\rangle ={\hat {H}}{\hat {U}}(t)\left|\psi (0)\right\rangle .}$

Оскільки хвильова функція ${\displaystyle \left|\psi (0)\right\rangle }$ є сталою, то її можна відкинути з рівняння:

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}{\hat {U}}(t)={\hat {H}}{\hat {U}}(t).}$

Таким чином, якщо гамільтоніан ${\displaystyle {\hat {H}}}$ не залежить від часу, то оператор еволюції визначається так:

${\displaystyle {\hat {U}}(t)=e^{-{\frac {i{\hat {H}}t}{\hbar }}}.}$

Отже, зміна хвильової функції в часі визначатиметься таким чином:

${\displaystyle |\psi _{S}(t)\rangle =e^{-{\frac {i{\hat {H}}t}{\hbar }}}|\psi (0)\rangle .}$

Якщо хвильова функція ${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$ задовольняє стаціонарне рівняння Шредінгера, тобто є власним станом гамільтоніана ${\displaystyle {\hat {H}}}$ із власним значенням ${\displaystyle E}$, то оператор еволюції можна переписати через енергії ${\displaystyle E}$, тоді:

${\displaystyle |\psi _{S}(t)\rangle =e^{-{\frac {iEt}{\hbar }}}|\psi (0)\rangle .}$

Таким чином, власні стани гамільтоніана — це стаціонарні стани, в яких система має певне значення енергії, а зміна системи в часі проявляється лише в зміні фази хвильової функції.

Див. також

• Картина взаємодії
• Картина Гейзенберга

Література

• Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
• Мессиа А. Квантовая механика. — М. : Наука, 1978. — Т. 1. — 480 с.