Замкнута геодезична

Замкнута геодезична на римановому многовиді — це геодезична, яка утворює просту замкнену криву. Її можна формалізувати як проєкцію замкнутої орбіти геодезичного потоку на дотичний простір многовида.

Означення

У римановому многовиді (M,g) замкнута геодезична — це періодична крива ${\displaystyle \gamma \colon \mathbb {R} \rightarrow M}$, яка є геодезичною для метрики g.

Замкнуті геодезичні можна описати за допомогою варіаційного принципу. Якщо позначити через ${\displaystyle \Lambda M}$ простір гладких 1-періодичних кривих на M, замкнуті геодезичні з періодом 1 — це в точності критичні точки функції енергії ${\displaystyle E\colon \Lambda M\rightarrow \mathbb {R} }$, визначеної формулою

${\displaystyle E(\gamma )=\int _{0}^{1}g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,\mathrm {d} t.}$

Якщо ${\displaystyle \gamma }$ — замкнута геодезична з періодом p, перепараметрзована крива ${\displaystyle t\mapsto \gamma (pt)}$ є замкнутою геодезичною з періодом 1, а тому вона є критичною точкою E. Якщо ${\displaystyle \gamma }$ є критичною точкою E, такими є і перепараметризовані криві ${\displaystyle \gamma ^{m}}$, для будь-якого ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$, визначені формулою ${\displaystyle \gamma ^{m}(t):=\gamma (mt)}$. Тоді будь-яка замкнута геодезична на M породжує нескінченну послідовність критичних точок енергії E.

Див. також

• Вкорочувальний потік

Посилання

• Besse, A.: «Manifolds all of whose geodesics are closed», Ergebisse Grenzgeb. Math., no. 93, Springer, Berlin, 1978.
• Klingenberg, W.: «Lectures on closed geodesics», Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Vol. 230. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1978. x+227 pp.