Ергодичний розподіл

Визначення

Нехай${\displaystyle \{X_{n}\}_{n\geq 0}}$ — однорідний ланцюг Маркова з дискретним часом і зліченним числом станів. Позначимо

${\displaystyle p_{ij}^{(n)}=\mathbb {P} (X_{n}=j\mid X_{0}=i)}$

перехідні ймовірності за ${\displaystyle n}$ кроків. Якщо існує дискретний розподіл ${\displaystyle \pi =(\pi _{1},\pi _{2},\ldots )^{\top }}$, такий, що ${\displaystyle \pi _{i}>0,\;i\in \mathbb {N} }$ і

${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }p_{ij}^{(n)}=\pi _{j},\quad \forall i=1,2,\ldots }$,

то він називається ергодичним розподілом, а сам ланцюг називається ергодичним.

Основна теорема про ергодичні розподіли

Нехай ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n\geq 0}}$ — ланцюг Маркова з дискретним простором станів і матрицею перехідних ймовірностей ${\displaystyle P=(p_{ij}),\;i,j=1,2,\ldots }$. тоді цей ланцюг є ергодичним тоді і тільки тоді, коли він

1. ;
2. ;
3. аперіодичний.

Ергодичний розподіл ${\displaystyle \mathbf {\pi } }$ тоді є єдиним роз'язком системи:

${\displaystyle \sum \limits _{i=0}^{\infty }\pi _{i}=1,\;\pi _{j}\geq 0,\;\pi _{j}=\sum \limits _{i=0}^{\infty }\pi _{i}\,p_{ij},\quad \,j\in \mathbb {N} }$.

Див. також

• Ланцюг Маркова
• Стаціонарний розподіл
• Ергодичність

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. — 2-е. — Москва : Наука, 1977. — 567 с.(рос.)