Епіциклоїда

Епіцикло́їда (від грец. ὲπί — на, над, при і κυκλος — коло) — плоска крива, що утворюється певною точкою кола, яке котиться по зовнішній стороні іншого кола без проковзування.

Рівняння

Якщо центр нерухомого кола знаходиться в початку координат, її радіус рівний ${\displaystyle R}$, а радіус кола, що котиться по ньому рівний ${\displaystyle r}$, то епіциклоїда описується параметричними рівняннями відносно ${\displaystyle \varphi }$:

${\displaystyle {\begin{cases}x=(R+r)\cos \varphi -r\cos(\alpha +{\frac {R+r}{r}}\varphi )\\y=(R+r)\sin \varphi -r\sin(\alpha +{\frac {R+r}{r}}\varphi )\end{cases}}}$

де ${\displaystyle \alpha }$ — кут повороту епіциклоїди відносно центру нерухомого кола, ${\displaystyle \varphi }$ — параметр, а саме — це кут нахилу відрізка між центрами до осі ${\displaystyle OX}$. Можна ввести величину ${\displaystyle \textstyle k={\frac {R}{r}}}$, тоді рівняння виглядатимуть

${\displaystyle {\begin{cases}x=r(k+1)\left(\cos \varphi -{\frac {\cos((k+1)\varphi )}{k+1}}\right)\\y=r(k+1)\left(\sin \varphi -{\frac {\sin((k+1)\varphi )}{k+1}}\right)\end{cases}}}$

Величина ${\displaystyle k}$ визначає форму епіциклоїди. При ${\displaystyle k=1}$ епіциклоїда утворює кардіоїду, а при ${\displaystyle k=2}$ — .

• Епіциклоїда при різних значеннях параметра k:
• ${\displaystyle k=1}$ (кардіоїда)
• ${\displaystyle k=2}$ ()
• ${\displaystyle k=3}$
• ${\displaystyle k=4}$
• ${\displaystyle k=2.1={\frac {21}{10}}}$
• ${\displaystyle k=3.8={\frac {19}{5}}}$
• ${\displaystyle k=5.5={\frac {11}{2}}}$
• ${\displaystyle k=7.2={\frac {36}{5}}}$

Див. також

• Список періодичних функцій

Посилання

• Епіциклоїда // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
• Epicycloid [ 24 листопада 2010 у Wayback Machine.], MathWorld
• «Epicycloid [ 24 листопада 2010 у Wayback Machine.]» by Michael Ford, The Wolfram Demonstrations Project, 2007