Афінна комбінація

Афінна комбінація — загальна назва операції, яка в векторних чи афінних просторах для певної скінченної множини точок чи векторів і множини скалярів тої ж потужності визначає деякий інший елемент векторного чи афінного простору.

Визначення

Векторні простори

Для векторних просторів афінна комбінація — лінійна комбінація векторів ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ векторного простору ${\displaystyle V}$ над полем ${\displaystyle F}$:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}x_{i}}=\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}$,

сума коефіцієнтів в якій дорівнює 1, тобто:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}}=1}$.

Афінні простори

Якщо ${\displaystyle \lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}=1,}$ нехай ${\displaystyle g}$ позначає єдину точку афінного простору для якої

${\displaystyle \lambda _{1}{\overrightarrow {oa_{1}}}+\cdots +\lambda _{n}{\overrightarrow {oa_{n}}}={\overrightarrow {og}},}$

для деякої точки ${\displaystyle o.}$

З означення афінного простору точка ${\displaystyle g}$ не залежить від вибору початкової точки ${\displaystyle o.}$ Тому для

${\displaystyle \lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}=1,}$

можна просто записати як

${\displaystyle g=\lambda _{1}a_{1}+\cdots +\lambda _{n}a_{n}.}$

Точку ${\displaystyle g}$ називають афінною комбінацією точок ${\displaystyle a_{i}}$ з коефіцієнтами ${\displaystyle \lambda _{i}.}$

Афінна оболонка і незалежність

Для довільної підмножини S векторного чи афінного простору її афінна оболонка визначається як:

${\displaystyle \operatorname {aff} (S)=\left\{\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}x_{i}\,{\Bigg |}\,k>0,\,x_{i}\in S,\,\alpha _{i}\in \mathbb {R} ,\,\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}=1\right\}.}$

Елементи деякої множини S називаються афінно незалежними, якщо жоден елемент цієї множини не належить афінній оболонці інших елементів. Еквівалентно якщо ${\displaystyle o\in S}$ — довільна точка підмножини S афінного чи векторного простору, то елементи множини S називаються афінно незалежними, якщо множина векторів ${\displaystyle S\setminus {o}-o}$ є лінійно незалежною. Для векторного простору розмірності n можна дати еквівалентне означення: якщо ${\displaystyle \lambda _{1}+\cdots +\lambda _{k}=0}$ і ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}x_{i}=0\,\,x_{i}\in S,}$, то звідси випливає що ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\ldots =\lambda _{k}=0.}$

Для афінно незалежної множини жоден елемент її афінної оболонки визначений однозначно. Зокрема для афінного простору розмірності n афінно незалежна множина може мати щонайбільше n+1 точку. Кожна точка афінного простору однозначно визначається як афінна комбінація максимальної системи афінно незалежних векторів. Відповідні скаляри ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n+1}}$ називаються барицентричними координатами точки.

Властивості

Операція афінної комбінації комутує з будь-яким афінним перетворенням ${\displaystyle T}$ в тому сенсі, що:

${\displaystyle T\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}x_{i}}=\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}Tx_{i}}}$.

Зокрема, будь-яка афінна комбінація нерухомих точок заданого афінного перетворення ${\displaystyle T}$ є також нерухомою точкою ${\displaystyle T}$, так що множина нерухомих точок ${\displaystyle T}$ утворює Афінний підпростір

Коли стохастична матриця ${\displaystyle A}$ діє на вектор-стовпець ${\displaystyle B}$, результатом буде вектор-стовпець, елементи якого є афінними комбінаціями елементів ${\displaystyle B}$ з коефіцієнтами з рядків матриці ${\displaystyle A}$.

Див. також

• Лінійна комбінація
• Опукла комбінація
• Афінний простір
• Афінне перетворення

Джерела

• Jean Gallier. Глава 2 // Geometric Methods and Applications. — .

Посилання

• Notes on affine combinations. [ 20 березня 2019 у Wayback Machine.]