Асимптотично еквівалентні системи

Визначення

Асимптотично еквівалентними системами називаються системи диференціальних рівнянь

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(t,x)\quad (1)}$

та

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=g(t,y)\quad (2)}$,

якщо між їх розв'язками ${\displaystyle x(t)}$ та ${\displaystyle y(t)}$ можна встановити взаємно однозначну відповідність таку, що

${\displaystyle \lim \limits _{t\to \infty }[x(t)-y(t)]=0.\quad (3)}$

Ознака асимптотичної еквівалентності

Теорема Левінсона

Нехай розв'язки системи

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=Ax,\quad (4)}$

де ${\displaystyle A}$ — постійна ${\displaystyle (n\times n)}$-матриця, обмежені на ${\displaystyle [0,\infty )}$. Тоді система

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=[A+B(t)]y}$,

де ${\displaystyle B(t)\in C[0,\infty )}$ та ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\lVert B(t)\rVert \,dt<\infty }$ асимптотично еквівалентна системі ${\displaystyle \quad (4)}$.

В поданій вище формулі ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$ позначає норму матриці.

Див. також

• Асимптотична рівність
• Ляпунов Олексій Андрійович
• Теорема Левінсона

Примітки

1. Levinson N., The asymptotic behavior of system of linear differential equations, Amer. J. Math. 68 (1946), 1—6.

Джерела

1. Воскресенский Е. В. Асимптотическая эквивалентность систем дифференциальных уравнений. (рос.)
2. Гробман Д. М. Топологическая и асимптотическая эквивалентность систем дифференциальных уравнений, Матем. сб., № 61 (103):1 1963, С 13-39. (рос.)
3. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967. (рос.)