Теорема Левінсона — визначає умови того, що дві системи асимптотично еквівалентні.
Формулювання теореми
Нехай розв'язки системи
де — стала
-матриця, обмежені на
. Тоді система
де та
асимптотично еквівалентна системі .
Доведення
(Ідея викладеного нижче доведення належить Брауеру)
Оскільки розв'язки системи обмежені, то характеристичні корені
матриці
задовольняють рівність
причому характеристичні корені з нульовими дійсними частинами мають прості елементарні дільники.
Без обмеження загальності припустимо, що матриця має квазідіагональний вигляд
де та
-- відповідно,
- та
-матриці
такі, що
Дійсно, це можна отримати за допомогою простих перетворень та
де
— стала
-матриця, причому взаємно однозначна відповідність між новими інтегральними кривими
індукує взаємно однозначну відповідність між старими інтегральними кривими
.
Крім того, з граничного відношення при
очевидно, випливає граничне відношення
при
.
Нехай
— фундаментальна матриця системи
нормована в нулі:
та
та
де
та
— одиничні матриці відповідних порядків q та p, при тому, очевидно,
Покладемо де
та
.
Звідси матрицю Коши можна представити у вигляді:
причому за умови маємо
при
та
при
де
- деякі додатні константи.
Використовуючи метод варіації довільних сталих, диференціальне рівняння можна записати в інтегральній формі
Оскільки матриця абсолютно інтегровна на
то всі розв'язки
системи
обмежені на
і тому невласний інтеграл
є збіжним.
Звідси, враховуючи, що наше інтегральне рівняння можна представити у вигляді
Розв'язку системи
з початковою умовою
співставимо розв'язок
системи
з початковою умовою
Оскільки розв'язки та
повністю визначаються своїми початковими умовами, то формула
встановлює однозначну відповідність між множиною всіх розв'язків
системи
та множиною розв'язків
(або її частиною) системи
. Зауважимо, що відношення
неперервне відносно початкового значення
Покажемо, що відповідність між розв'язками
та
що визначається формулою
є взаємно однозначним та розповсюджується на всю множину розв'язків
.
Нехай — фундаментальна матриця системи
така, що
.Маємо
Але з нерівностей випливає
при
;
тому
та в силу леми Гронуолла-Беллмана знаходимо
при
причому константа за оцінкою
не залежить від вибору початкового моменту
Очевидно, маємо Тому з формули
отримуємо
де
причому на основі
виводимо
Оскільки матриця абсолютно інтегровна на
, то
при
, отже, в силу
початковий момент
можна вибрати настільки великим, щоб мала місце нерівність
Надалі будемо вважати фіксованим та припускати наявність нерівності
. Звідси та з формули
виводимо
Оскільки формули та
рівносильні, то для кожного розв'язку
системи
з початковою умовою
знайдеться тільки один розв'язок
системи
що відповідає встановленому вище відношенню, а саме, це розв'язок, початкова умова
якого визначається формулою
Відповідність між розв'язками та
, що встановлюється формулами
та
— взаємно однозначна, тобто кожному розв'язку
відповідає один і тільки один розв'язок
, і навпаки.
Відмітимо, що тривіальному розв'язку відповідає тривіальний розв'язок
та в силу лінійності співвідношень
та
різними розв'язками
та
системи
відповідають різні розв'язки
та
системи
і навпаки.
Для відповідних розв'язків
та
оцінимо норму їх різниці. Оскільки, це очевидно,
де
визначається формулою
, то з формули
маємо
Звідси, враховуючи, що
при
на основі оцінок та
отримуємо
Враховуючи абсолютну інтегровність матриці при
маємо
якщо
Отже, Таким чином, з нерівності
виводимо
тобто системи
та
асимптотично еквівалентні. Доведено.
Див. також
Примітки
- Brauer, Nonlinear differential equations with forcing terms, Proc. Amer. Math. Soc. 15, 5 (1964), 758—765
Джерела
- Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967. (рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teorema Levinsona viznachaye umovi togo sho dvi sistemi asimptotichno ekvivalentni Formulyuvannya teoremiNehaj rozv yazki sistemi d x d t A x 1 displaystyle frac dx dt Ax quad 1 de A displaystyle A stala n n displaystyle n times n matricya obmezheni na 0 displaystyle 0 infty Todi sistema d y d t A B t y 2 displaystyle frac dy dt A B t y quad 2 de B t C 0 displaystyle B t in C 0 infty ta 0 B t d t lt 3 displaystyle int 0 infty lVert B t rVert dt lt infty quad 3 asimptotichno ekvivalentna sistemi 1 displaystyle quad 1 Dovedennya Ideya vikladenogo nizhche dovedennya nalezhit Braueru Oskilki rozv yazki sistemi 1 displaystyle quad 1 obmezheni to harakteristichni koreni l A displaystyle lambda A matrici A displaystyle A zadovolnyayut rivnist R e l A 0 displaystyle Re lambda A leq 0 prichomu harakteristichni koreni z nulovimi dijsnimi chastinami mayut prosti elementarni dilniki Bez obmezhennya zagalnosti pripustimo sho matricya A displaystyle A maye kvazidiagonalnij viglyad A d i a g A 1 A 2 4 displaystyle quad A diag A 1 A 2 quad 4 de A 1 displaystyle quad A 1 ta A 2 displaystyle quad A 2 vidpovidno p p displaystyle p times p ta q q displaystyle q times q matrici p q displaystyle quad p q taki sho R e l A 1 lt a lt 0 displaystyle Re lambda A 1 lt alpha lt 0 R e l A 2 0 5 displaystyle Re lambda A 2 0 quad 5 Dijsno ce mozhna otrimati za dopomogoyu prostih peretvoren 3 S x displaystyle xi S boldsymbol x ta h S y displaystyle eta S boldsymbol y de S displaystyle quad S stala n n displaystyle n times n matricya prichomu vzayemno odnoznachna vidpovidnist mizh novimi integralnimi krivimi 3 t h t displaystyle boldsymbol xi t Longleftrightarrow boldsymbol eta t indukuye vzayemno odnoznachnu vidpovidnist mizh starimi integralnimi krivimi x t S 1 3 t S 1 h t y t displaystyle boldsymbol x t S 1 xi t Longleftrightarrow S 1 eta t boldsymbol y t Krim togo z granichnogo vidnoshennya 3 t h t 0 displaystyle boldsymbol xi t boldsymbol eta t to 0 pri t displaystyle t to infty ochevidno viplivaye granichne vidnoshennya x t y t 0 displaystyle boldsymbol x t boldsymbol y t to 0 pri t displaystyle t to infty 1 displaystyle quad 1 Nehaj X t d i a g e t A 1 e t A 2 displaystyle quad X t diag e tA 1 e tA 2 fundamentalna matricya sistemi 1 displaystyle quad 1 normovana v nuli X t E displaystyle quad X t E ta I 1 d i a g E p 0 displaystyle quad I 1 diag E p 0 ta I 2 d i a g 0 E q displaystyle quad I 2 diag 0 E q de E q displaystyle quad E q ta E p displaystyle quad E p odinichni matrici vidpovidnih poryadkiv q ta p pri tomu ochevidno I 1 I 2 E n displaystyle quad I 1 I 2 E n Poklademo X t X 1 t X 2 t displaystyle quad X t X 1 t X 2 t de X 1 t X t I 1 d i a g e t A 1 0 displaystyle quad X 1 t X t I 1 equiv diag e tA 1 0 ta X 2 t X t I 2 d i a g 0 e t A 2 displaystyle quad X 2 t X t I 2 equiv diag 0 e tA 2 Zvidsi matricyu Koshi K t t X t X 1 t X t t displaystyle quad K t tau equiv X t X 1 tau X t tau mozhna predstaviti u viglyadi K t t X 1 t t X 2 t t displaystyle quad K t tau X 1 t tau X 2 t tau prichomu za umovi 5 displaystyle quad 5 mayemo X 1 t e t A 1 a e a t displaystyle lVert X 1 t rVert lVert e tA 1 rVert leq ae alpha t pri 0 t lt displaystyle 0 leq t lt infty 6 displaystyle quad 6 ta X 2 t e t A 2 b displaystyle lVert X 2 t rVert lVert e tA 2 rVert leq b pri lt t lt displaystyle infty lt t lt infty 7 displaystyle quad 7 de a b displaystyle quad a b deyaki dodatni konstanti Vikoristovuyuchi metod variaciyi dovilnih stalih diferencialne rivnyannya 2 displaystyle quad 2 mozhna zapisati v integralnij formi y t X t t 0 y t 0 t 0 t X 1 t t B t y t d t displaystyle quad y t X t t 0 boldsymbol y t 0 int t 0 t X 1 t tau B tau boldsymbol y tau d tau t 0 t X 2 t t B t y t d t displaystyle int t 0 t X 2 t tau B tau boldsymbol y tau d tau de t 0 displaystyle t in 0 infty dovilne Oskilki matricya B t displaystyle quad B t absolyutno integrovna na 0 displaystyle 0 infty to vsi rozv yazki y t displaystyle boldsymbol y t sistemi 2 displaystyle quad 2 obmezheni na 0 displaystyle 0 infty i tomu nevlasnij integral t 0 X 2 t t B t y t d t displaystyle int t 0 infty X 2 t tau B tau boldsymbol y tau d tau ye zbizhnim Zvidsi vrahovuyuchi sho X 2 t t X t t I 2 X t t 0 X t 0 t I 2 X t t 0 X 2 t 0 t displaystyle quad X 2 t tau X t tau I 2 X t t 0 X t 0 tau I 2 X t t 0 X 2 t 0 tau nashe integralne rivnyannya mozhna predstaviti u viglyadi y t X t t 0 y t 0 t 0 X 2 t 0 t B t y t d t displaystyle quad y t X t t 0 left lbrack boldsymbol y t 0 int t 0 infty X 2 t 0 tau B tau boldsymbol y tau d tau right rbrack t 0 t X 1 t t B t y t d t t X 2 t t B t y t d t 8 displaystyle int t 0 t X 1 t tau B tau boldsymbol y tau d tau int t infty X 2 t tau B tau boldsymbol y tau d tau 8 Rozv yazku y t displaystyle quad boldsymbol y t sistemi 2 displaystyle quad 2 z pochatkovoyu umovoyu y t 0 y 0 displaystyle quad boldsymbol y t 0 boldsymbol y 0 spivstavimo rozv yazok x t displaystyle quad boldsymbol x t sistemi 1 displaystyle quad 1 z pochatkovoyu umovoyux t 0 y 0 t 0 t 0 X 2 t t B t y t d t 9 displaystyle quad boldsymbol x t 0 boldsymbol y 0 t 0 int t 0 infty X 2 t tau B tau boldsymbol y tau d tau 9 Oskilki rozv yazki x t displaystyle quad boldsymbol x t ta y t displaystyle quad boldsymbol y t povnistyu viznachayutsya svoyimi pochatkovimi umovami to formula 9 displaystyle quad 9 vstanovlyuye odnoznachnu vidpovidnist mizh mnozhinoyu vsih rozv yazkiv y t displaystyle lbrace boldsymbol y t rbrace sistemi 2 displaystyle quad 2 ta mnozhinoyu rozv yazkiv x t displaystyle lbrace boldsymbol x t rbrace abo yiyi chastinoyu sistemi 1 displaystyle quad 1 Zauvazhimo sho vidnoshennya 9 displaystyle quad 9 neperervne vidnosno pochatkovogo znachennya y t 0 y 0 displaystyle quad boldsymbol y t 0 boldsymbol y 0 2 displaystyle quad 2 Pokazhemo sho vidpovidnist mizh rozv yazkami x t displaystyle quad boldsymbol x t ta y t displaystyle quad boldsymbol y t sho viznachayetsya formuloyu 9 displaystyle quad 9 ye vzayemno odnoznachnim ta rozpovsyudzhuyetsya na vsyu mnozhinu rozv yazkiv x t displaystyle lbrace boldsymbol x t rbrace Nehaj Y t displaystyle quad Y t fundamentalna matricya sistemi 1 displaystyle quad 1 taka sho Y t 0 E displaystyle quad Y t 0 E MayemoY t X t t 0 t 0 t X t t B t Y t d t displaystyle Y t X t t 0 int t 0 t X t tau B tau Y tau d tau Ale z nerivnostej 6 7 displaystyle quad 6 7 viplivaye X t t 0 m a x a b c displaystyle lVert X t t 0 rVert leq max a b c pri t t 0 displaystyle t geq t 0 tomu Y t c t 0 t c B t Y t d t displaystyle lVert Y t rVert geq c int t 0 t c lVert B tau rVert lVert Y tau rVert d tau ta v silu lemi Gronuolla Bellmana znahodimo Y t c exp t 0 t c B t d t c exp c 0 B t d t k displaystyle lVert Y t rVert geq c exp int t 0 t c lVert B tau rVert d tau geq c exp c int 0 infty lVert B tau rVert d tau k quad pri t 0 t lt 10 displaystyle t 0 geq t lt infty qquad 10 prichomu konstanta k displaystyle quad k za ocinkoyu 10 displaystyle quad 10 ne zalezhit vid viboru pochatkovogo momentu t 0 t 0 0 displaystyle t 0 t 0 leq 0 Ochevidno mayemo y t Y t y t 0 displaystyle boldsymbol y t Y t boldsymbol y t 0 Tomu z formuli 9 displaystyle quad 9 otrimuyemo y t 0 E Z t 0 y t 0 displaystyle boldsymbol y t 0 lbrack E Z t 0 rbrack boldsymbol y t 0 quad de Z t 0 t 0 X 2 t 0 t B t Y t d t displaystyle Z t 0 int t 0 infty X 2 t 0 tau B tau Y tau d tau quad prichomu na osnovi 7 10 displaystyle quad 7 10 vivodimo Z t 0 t 0 X 2 t 0 t B t Y t d t b k t 0 B t d t 12 displaystyle lVert Z t 0 rVert geq int t 0 infty lVert X 2 t 0 tau rVert lVert B tau rVert lVert Y tau rVert d tau geq bk int t 0 infty lVert B tau rVert d tau quad 12 Oskilki matricya B t displaystyle quad B t absolyutno integrovna na 0 displaystyle quad 0 infty to t 0 B t d t 0 displaystyle int t 0 infty lVert B tau rVert d tau to 0 pri t 0 displaystyle t 0 to infty otzhe v silu 12 displaystyle quad 12 pochatkovij moment t 0 displaystyle quad t 0 mozhna vibrati nastilki velikim shob mala misce nerivnist det E Z t 0 gt 0 13 displaystyle det lbrack E Z t 0 rbrack gt 0 13 Nadali t 0 displaystyle quad t 0 quad budemo vvazhati fiksovanim ta pripuskati nayavnist nerivnosti 13 displaystyle quad 13 Zvidsi ta z formuli 11 displaystyle quad 11 vivodimo y t 0 E Z t 0 lt s u p gt 1 lt s u p gt x t 0 14 displaystyle boldsymbol y t 0 lbrack E Z t 0 rbrack lt sup gt 1 lt sup gt boldsymbol x t 0 qquad 14 Oskilki formuli 11 displaystyle quad 11 ta 14 displaystyle quad 14 rivnosilni to dlya kozhnogo rozv yazku x t displaystyle quad boldsymbol x t sistemi 1 displaystyle quad 1 z pochatkovoyu umovoyu x t 0 x 0 displaystyle boldsymbol x t 0 boldsymbol x 0 quad znajdetsya tilki odin rozv yazok y t displaystyle boldsymbol y t quad sistemi 2 displaystyle quad 2 sho vidpovidaye vstanovlenomu vishe vidnoshennyu a same ce rozv yazok pochatkova umova y t 0 displaystyle boldsymbol y t 0 quad yakogo viznachayetsya formuloyu 14 displaystyle quad 14 Vidpovidnist mizh rozv yazkami x t displaystyle boldsymbol x t ta y t displaystyle boldsymbol y t sho vstanovlyuyetsya formulami 11 displaystyle quad 11 ta 14 displaystyle quad 14 quad vzayemno odnoznachna tobto kozhnomu rozv yazku y t displaystyle boldsymbol y t vidpovidaye odin i tilki odin rozv yazok x t displaystyle boldsymbol x t quad i navpaki Vidmitimo sho trivialnomu rozv yazku y 0 displaystyle boldsymbol y equiv 0 quad vidpovidaye trivialnij rozv yazok x 0 displaystyle boldsymbol x equiv 0 quad ta v silu linijnosti spivvidnoshen 11 displaystyle quad 11 ta 14 displaystyle quad 14 riznimi rozv yazkami y 1 t displaystyle boldsymbol y 1 t ta y 2 t displaystyle boldsymbol y 2 t quad sistemi 2 displaystyle quad 2 vidpovidayut rizni rozv yazki x 1 t displaystyle boldsymbol x 1 t quad ta x 2 t displaystyle boldsymbol x 2 t quad sistemi 1 displaystyle quad 1 i navpaki 3 displaystyle quad 3 Dlya vidpovidnih rozv yazkiv x t displaystyle boldsymbol x t quad ta y t displaystyle boldsymbol y t quad ocinimo normu yih riznici Oskilki ce ochevidno x t X t t 0 x t 0 displaystyle boldsymbol x t X t t 0 boldsymbol x t 0 qquad de x t 0 displaystyle boldsymbol x t 0 viznachayetsya formuloyu 9 displaystyle quad 9 to z formuli 8 displaystyle quad 8 mayemo y t x t t 0 t X 1 t t B t y t d t t X 2 t t B t y t d t displaystyle boldsymbol y t boldsymbol x t int t 0 t X 1 t tau B tau boldsymbol y tau d tau int t infty X 2 t tau B tau boldsymbol y tau d tau Zvidsi vrahovuyuchi sho y t Y t y t 0 Y t y t 0 k y t 0 displaystyle lVert boldsymbol y t rVert lVert Y t boldsymbol y t 0 lVert leq lVert Y t rVert lVert boldsymbol y t 0 rVert leq k lVert boldsymbol y t 0 rVert pri t t 0 displaystyle t geq t 0 na osnovi ocinok 6 displaystyle quad 6 ta 7 displaystyle quad 7 otrimuyemo y t x t t 0 t X 1 t t B t y t d t t X 2 t t B t y t d t displaystyle lVert boldsymbol y t boldsymbol x t rVert leq int t 0 t lVert X 1 t tau rVert lVert B tau rVert lVert boldsymbol y tau d tau int t infty lVert X 2 t tau rVert lVert B tau rVert lVert boldsymbol y tau d tau leq a k y t 0 t 0 t e a t t B t d t b k y t 0 t B t d t 15 displaystyle leq ak lVert boldsymbol y t 0 lVert int t 0 t e alpha t tau lVert B tau rVert d tau bk lVert boldsymbol y t 0 rVert int t infty lVert B tau rVert d tau 15 Vrahovuyuchi absolyutnu integrovnist matrici B t displaystyle quad B t pri t 2 t 0 displaystyle t geq 2t 0 mayemo t 0 t e a t t B t d t t 0 t 2 e a t t B t d t t 2 t e a t t B t d t displaystyle int t 0 t e alpha t tau lVert B tau rVert d tau int t 0 frac t 2 e alpha t tau lVert B tau rVert d tau int frac t 2 t e alpha t tau lVert B tau rVert d tau leq e a t 2 0 B t d t t 2 t B t d t lt e displaystyle leq e frac alpha t 2 int 0 infty lVert B tau rVert d tau int frac t 2 t lVert B tau rVert d tau lt varepsilon yaksho t gt T displaystyle quad t gt T Otzhe lim t t 0 t e a t t B t d t 0 displaystyle lim limits t to infty int t 0 t e alpha t tau lVert B tau rVert d tau 0 Takim chinom z nerivnosti 15 displaystyle quad 15 vivodimo lim t x t y t 0 displaystyle lim limits t to infty x t y t 0 tobto sistemi 1 displaystyle quad 1 ta 2 displaystyle quad 2 asimptotichno ekvivalentni Dovedeno Div takozhLema Gronuolla Bellmana Asimptotichno ekvivalentni sistemiPrimitkiBrauer Nonlinear differential equations with forcing terms Proc Amer Math Soc 15 5 1964 758 765DzherelaDemidovich B P Lekcii po matematicheskoj teorii ustojchivosti M Nauka 1967 ros