Абсолютна збіжність

Абсолютна збіжність числових рядів

Визначення

Ряд ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ називають абсолютно збіжним числовим рядом, якщо збіжним є ряд ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|}$.

Властивості

• із збіжності ряду ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|}$ випливає збіжність ряду ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$.
• При дослідженні абсолютної збіжності ряду використовують ознаки збіжності рядів з невід'ємними членами.
• Якщо ряд ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|}$ є розбіжним, то для виявлення умовної збіжності числового ряду використовують тонші ознаки: ознака Лейбніца, ознака Абеля, ознака Діріхле.

Абсолютна збіжність невласних інтегралів першого роду

Визначення

Невласний інтеграл першого роду ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx}$ називається абсолютно збіжним, якщо збіжним є інтеграл ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }|f(x)|dx}$.

Властивості

• із збіжності інтеграла ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }|f(x)|dx}$ випливає збіжність інтеграла ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx}$.
• Для виявлення абсолютної збіжності невласного інтеграла першого роду використовують ознаки збіжності невласних інтегралів першого роду від невід'ємних функцій.
• Якщо інтеграл ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }|f(x)|dx}$ є розбіжним, то для виявлення умовної збіжності невласного інтеграла першого роду можуть бути використані ознаки Абеля і Діріхле.

Абсолютна збіжність невласних інтегралів другого роду

Визначення

Хай ${\displaystyle \ f(x)}$ визначена і інтегрована на ${\displaystyle [a;b-\varepsilon \ ]\quad \forall \varepsilon \ \in (0;b-a)}$, необмежена в лівому околі точки ${\displaystyle b}$. Невласний інтеграл другого роду ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx}$ називається абсолютно збіжним, якщо збіжним є інтеграл ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}|f(x)|dx}$.

Властивості

• із збіжності інтеграла ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}|f(x)|dx}$ випливає збіжність інтеграла ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx}$.
• Для виявлення абсолютної збіжності невласного інтеграла другого роду використовують ознаки збіжності невласних інтегралів другого роду від невід'ємних функцій.
• Якщо інтеграл ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}|f(x)|dx}$ є розбіжним, то для виявлення умовної збіжності невласного інтеграла другого роду можуть бути використані ознаки Абеля і Діріхле.

Див. також

• Умовна збіжність
• Безумовна збіжність
• Теорема Данжуа — Лузіна

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2100+ с.(укр.)
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва : Наука, 1964. — Т. 2. — 800 с.(рос.)

Посилання

• Абсолютна сумовність [ 27 вересня 2020 у Wayback Machine.] // ВУЕ
• Абсолютно збіжний ряд [ 25 вересня 2020 у Wayback Machine.] // ВУЕ