Ітераційний метод

Ітера́ція (від лат. iteratio — повторювання) — багатозначний термін, який залежно від контексту може означати:

• Повторне застосування математичної операції (із зміненими даними) при розв'язанні обчислювальних задач, яке дає можливість поступово наблизитися до правильного результату.
• Результат багаторазового повторення якоїсь математичної операції.

Застосування

Задача про нерухому точку

Ітерації застосовуються для розв'язування задачі

${\displaystyle x=Ax}$,

де x — елемент певної множини, а A — оператор, що відображає множину саму в себе.

Ітераційна процедура розв'язку починається з довільно обраного елемента множини ${\displaystyle x_{0}}$. За цим елементом визначається наступна, перша ітерація

${\displaystyle x_{1}=Ax_{0}}$.

Продовжуючи послідовно застосовувати оператор A, отримуємо для n-ї ітерації:

${\displaystyle x_{n}=Ax_{n-1}=A^{n}x_{0}}$.

При виконанні певних умов така процедура збігається до певного елемента множини, який є розв'язком задачі.

Однак ітераційна процедура не завжди збіжна.

Фрактальні структури

Незбіжні ітеративні процедури використовуються для побудови та вивчення фракталів. Наприклад, множина Мандельброта утворюється при ітеруванні:

${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c}$,

де ${\displaystyle z_{0}=0\,}$, ${\displaystyle z_{n}}$ та c — комплексні числа.

Програмування

У програмуванні розрізняють ітераційні та рекурсивні алгоритми. При ітераційному алгоритмі певна функція викликається послідовно, і при потребі її повторного застосування, викликається знову із новим аргументом. У рекурсивних алгоритмах використовуються вкладені виклики функції, що призводить до залучення стеку викликів. Задля уникнення навантаження на стек викликів застосовують хвостову рекурсію, яка зводить рекурсивний алгоритм до ітераційного.

Див. також

• Метод ітерації (алгоритм)
• Рекурсія
• Ітератор
• Нерухома точка

Джерела

• Бевз Г.П. Довідник з математики. — К. : Радянська школа, 1981. — 262 с.

• Алан Шаллоуей, Джеймс Р. Тротт. Шаблоны проектирования. Новый подход к объектно-ориентированному анализу и проектированию = Design Patterns Explained: A New Perspective on Object-Oriented Design. — М. : «Вильямс», 2002. — 288 с. — .