Індукована топологія

Індукована топологія — природний спосіб задання топології на підмножині топологічного простору.

Визначення

Нехай дано топологічний простір ${\displaystyle (X,\;{\mathcal {T}})}$, де ${\displaystyle X}$ — довільна множина, а ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ — визначена на ${\displaystyle X}$ топологія. Нехай також ${\displaystyle Y\subset X}$. Визначимо ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{Y}}$ — сім'ю підмножин ${\displaystyle Y}$ таким чином:

${\displaystyle {\mathcal {T}}_{Y}=\{U\cap Y\mid U\in {\mathcal {T}}\}.}$

Нескладно перевірити, що ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{Y}}$ є топологією на ${\displaystyle Y}$. Ця топологія називається індукованою топологією ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$. Топологічний простір ${\displaystyle (Y,\;{\mathcal {T}}_{Y})}$ називається підпростором ${\displaystyle (X,\;{\mathcal {T}})}$.

Цю конструкцію можна узагальнити. Нехай ${\displaystyle X}$ — довільна множина, ${\displaystyle (Y,\;{\mathcal {T}}_{Y})}$ — топологічний простір і ${\displaystyle f:X\to Y}$ — довільне відображення ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$. Тоді як ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{X}}$ візьмемо всілякі множині виду ${\displaystyle f^{-1}}$ (${\displaystyle V}$), де ${\displaystyle V}$ — відкриті множини в ${\displaystyle Y}$. Топологія ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{X}}$ називається індукованою відображенням ${\displaystyle f}$ топологією. Відображення ${\displaystyle f}$ в цій топології автоматично стає неперервним. Це найслабша (вона містить найменше множин) з усіх можливих топологій на множині ${\displaystyle X}$, для яких відображення ${\displaystyle f}$ буде неперервним.

Приклад

Нехай дана дійсна пряма ${\displaystyle \mathbb {R} }$ зі стандартною топологією. Тоді топологія, індукована останньою на множині всіх натуральних чисел ${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {R} }$, є дискретною.

Властивості

Нехай ${\displaystyle Y}$ є підпростором в ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle i:Y\to X}$ позначає відображення вкладення. Тоді для довільного топологічного простору ${\displaystyle Z}$ відображення ${\displaystyle f:Z\to Y}$ є неперервним тоді і тільки тоді коли композиція відображень ${\displaystyle i\circ f}$ є неперервною.

Characteristic property of the subspace topology

Цю властивість можна використати для визначення індукованої топології на ${\displaystyle Y}$. Надалі ${\displaystyle S}$ позначаиме підпростір простору ${\displaystyle X}$.

• Якщо ${\displaystyle f:X\to Y}$ є неперервним то його обмеження на ${\displaystyle S}$ теж є неперервним.
• Якщо ${\displaystyle f:X\to Y}$ є неперервним то ${\displaystyle f:X\to f(X)}$ is continuous.
• Якщо ${\displaystyle A}$ є підпростором в ${\displaystyle S}$ то ${\displaystyle A}$ є також підпростором в ${\displaystyle X}$ з тією ж топологією. Іншими словами топологія на ${\displaystyle A}$ індуковаа топологією на ${\displaystyle S}$ є тою ж, що і топологія індукована з ${\displaystyle X}$.
• Якщо ${\displaystyle B}$ є базисом топології ${\displaystyle X}$ то ${\displaystyle B_{S}=\{U\cap S:U\in B\}}$ є базисом топології ${\displaystyle S}$.
• Топологія індукована обмеженням метрики на підмножину метричного простору збігається з індукованою топологією.

Джерела

• Gaal, Steven A.(1966), Point set topology, New York: Dover Publications, (англ.)