Ґратка з діленням

Ґратка з діленням — алгебраїчна структура в теорії ґраток, що одночасно є ґраткою x ≤ y та моноїдом x•y, яка дозволяє операції x\z та z/y, що є аналогами ділення чи імплікації, якщо розглядати x•y як множення чи кон'юнкцію, відповідно.

Прикладами ґраток з діленням є булеві алгебри, , алгебри Гейтінга, .

Визначення

Ґратка з діленням ${\displaystyle (L,\leq ,\cdot ,e)}$ така алгебраїчна структура, що:

1. ${\displaystyle (L,\leq )}$ — ґратка
2. ${\displaystyle (L,\cdot ,e)}$ — моноїд
3. Для всіх z виконується: існує для кожного x таке найбільше y, та існує для кожного y таке найбільше x, що x•y ≤ z (властивість ділення).

В (3), таке «найбільше y», залежить від z та x, позначається x\z та називається права частка z по x. Двоїстим поняттям є «найбільший x» позначається z/y та називається ліва частка z по y.

Перепишемо (3) еквівалентно:

3'. ${\displaystyle \forall x,y,z\in L:\quad y\leq x\backslash z\quad \iff \quad x\cdot y\leq z\quad \iff \quad x\leq z/y.}$

Для фіксованого x в L, унарні операції x• та x\ є відповідно нижнім та верхнім спряженням в на L, дуально це також справедливо і для функцій •y та /y. Тому існує інше визначення, а саме:

${\displaystyle x\cdot (x\backslash y)\;\;\leq y\leq \;\;x\backslash (x\cdot y),}$

${\displaystyle (y/x)\cdot x\;\;\leq y\leq \;\;(y\cdot x)/y,}$

разом з вимогою монотонності x•y по x та по y. (З аксіом (3) чи (3') монотонність виводиться, але nen її потрібно вводити окремою аксіомою.) Тепер можна розглядати x• та x\ як псевдообернення чи спряження один до одного, а також •x до /x.

Аксіома монотонності теж може бути записана через нерівність ${\displaystyle x\cdot y\leq (x\lor y)\cdot y}$

І навпаки, нерівність ${\displaystyle x\leq y}$ може бути записана як ${\displaystyle x\land y=x}$ чи ${\displaystyle x\lor y=y.}$ Тому перейшовши до визначення ґратки через тотожності отримаємо іншу сигнатуру ${\displaystyle (L,\land ,\lor ,\cdot ,e,/,\backslash )}$

Приклади

Булеві алгебри та алгебри Гейтінга є комутативними ґратками з діленнямв яких x•y = x∧y (тому одиниця множення e збігається з максимальним елементом 1) та обидва ділення x\y та y/x є однією операцією, а саме імплікацією x → y.

Див. також

Джерела

• Биркгоф Г. Теория решёток / пер. с англ. В. Н. Салий ; под ред. Л. А. Скорнякова. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1984. — 568 с.(рос.)
• Ward, Morgan, and (1939) "Residuated lattices," Trans. Amer. Math. Soc. 45: 335-54. Reprinted in Bogart, K, Freese, R., and Kung, J., eds. (1990) The Dilworth Theorems: Selected Papers of R.P. Dilworth Basel: Birkhäuser.