Число Моцкіна

Число Моцкіна для даного числа n — це кількість можливих варіантів з'єднання n різних точок на колі хордами, які не перетинаються (хорди можуть виходити не з кожної точки). Числа Моцкіна названі на честь ^[en] і мають багато проявів у геометрії, комбінаториці і теорії чисел.

Числа Моцкіна ${\displaystyle M_{n}}$ для ${\displaystyle n=0,1,\dots }$ формують послідовність:

1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, , 2188, 5798, 15511, 41835, 113634, 310572, 853467, 2356779, 6536382, 18199284, 50852019, 142547559, 400763223, 1129760415, 3192727797, 9043402501, 25669818476, 73007772802, 208023278209, 593742784829, … послідовність A001006 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS

Приклади

Малюнки демонструють 9 способів поєднати 4 точки на колі хордами, які не перетинаються:

А ці показують 21 спосіб з'єднати 5 точок:

Властивості

Числа Моцкіна задовольняють рекурентним співвідношенням

${\displaystyle M_{n}=M_{n-1}+\sum _{i=0}^{n-2}M_{i}M_{n-2-i}={\frac {2n+1}{n+2}}M_{n-1}+{\frac {3n-3}{n+2}}M_{n-2}.}$

Числа Моцкіна можуть бути виражені через біноміальні коефіцієнти і числа Каталана:

${\displaystyle M_{n}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}}C_{k}.}$

Просте число Моцкіна — це число Моцкіна, яке є простим, таких відомо чотири:

2, 127, 15511, 953467954114363... послідовність A092832 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS

Інтерпретації в комбінаториці

Число Моцкіна для n також є кількістю додатних цілих послідовностей довжини n-1, у яких початковий і кінцевий елементи дорівнюють 1 або 2, а різниця між будь-якими двома послідовними елементами дорівнює -1, 0 або 1.

Також число Моцкіна для n задає кількість маршрутів з точки (0, 0) до точки (n, 0) за n кроків, якщо дозволено переміщуватися лише вправо (вгору, вниз або прямо) на кожному кроці, і забороняється опускатися нижче осі y = 0.

Наприклад, на рисунку показано 9 можливих шляхів Моцкіна від (0, 0) до (4, 0):

Існує щонайменше чотирнадцять різних проявів чисел Моцкіна в різних галузях математики, які перерахували Донагі та Шапіро 1977 року в своєму огляді чисел Моцкіна.

Гвіберт, Пергола та Пінзані 2001 року показали, що ^[] перераховані числами Моцкіна.

Див. також

• Числа Деланоя
• Числа Нараяни
• ^[en]

Примітки

1. Donaghey, R.; Shapiro, L. W. (1977), Motzkin numbers, , Series A, 23 (3): 291—301, doi:10.1016/0097-3165(77)90020-6, MR 0505544
2. Guibert, O.; Pergola, E.; Pinzani, R. (2001), Vexillary involutions are enumerated by Motzkin numbers, Annals of Combinatorics, 5 (2): 153—174, doi:10.1007/PL00001297, ISSN 0218-0006, MR 1904383

Посилання

• Bernhart, Frank R. (1999), Catalan, Motzkin, and Riordan numbers, , 204 (1-3): 73—112, doi:10.1016/S0012-365X(99)00054-0
• (1948), Relations between hypersurface cross ratios, and a combinatorial formula for partitions of a polygon, for permanent preponderance, and for non-associative products, Bulletin of the American Mathematical Society, 54 (4): 352—360, doi:10.1090/S0002-9904-1948-09002-4

Посилання

• Weisstein, Eric W. Motzkin Number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.