Ціла частина дійсного числа — найбільше ціле число, яке не більше ніж . Ціла частина числа зазвичай позначається як .
В інформатиці поряд з функцією ціла частина використовують функції підлога (англ. floor) та стеля (англ. ceiling). Функція підлога позначається як та збігається з цілою частиною, функція стелі позначається як та дорівнює найменшому цілому числу, яке не менше за .
Визначення за допомогою нерівностей такі:
Оскільки в напіввідкритому інтервалі довжини 1 є рівно одне ціле число, то для будь-якого дійсного x існують єдині цілі числа m і n, що задовольняють нерівність
Тоді і також можна приймати як означення функцій підлоги та стелі.
Еквівалентності
Наступні формули можна використовувати для спрощення виразів, що включають функцій підлоги та стелі.
На мові відношень порядку функція підлоги є залишковим відображенням, тобто частиною відповідності Галуа: це верхнє спряження функції, яке вкладує цілі числа в дійсні числа.
Наступні формули показують, як додавання цілих чисел до аргументу впливає на функції:
Вищезазначені формули невірні, якщо n не є цілим числом; однак для будь-яких x, y мають місце наступні нерівності:
Співвідношення між функціями
З означень випливає, що
- причому рівність можлива, тоді і тільки тоді, коли x - ціле число, тобто
Насправді для цілих чисел n і значення функцій підлоги і стелі збігаються :
Зміна знаку аргументу, міняє місцями функції підлоги та стелі і змінює знак:
і:
Зміна знаку аргументу доповнює дробову частину:
Функції підлоги, стелі та дробової частини є ідемпотентними:
Результатом композиції функцій підлоги та стелі є внутрішня функція:
завдяки властивості тотожності для цілих чисел.
Частки
Якщо m і n цілі числа, а n ≠ 0, то
Якщо n - натуральне число, то
Якщо m додатне, то
Для m = 2 отримуємо
У загальному випадку, для додатнього m (див.тотожність Ерміта)
Для перетворення між функціями підлоги та стелі можна використати наступні формули (m додатне)
Для всіх натуральних чисел m і n:
яка при додатних [[Взаємно прості числа|взаємнопростих} m і n зводиться до
Оскільки права частина у загального випадку симетрична відносно m і n, то
І нарешті, для додатних m і n,
це співвідношення іноді називають законом взаємності.
Вкладені частки
Для додатного цілого n і довільних дійсних чисел m, x:
Неперервність та розкладення у ряди
Жодна з функцій, обговорюваних у цій статті, не є неперервною, але всі - кусково-лінійні: функції , , і мають розриви в цілих числах. Функція є напівнеперервною зверху і функції і - напівнеперервні знизу.
Оскільки жодна з функцій, розглянутих у цій статті, не є неперервною, тому жодна з них не допускає розклад у вигляді степеневих рядів. Оскільки функції підлоги і стелі неперіодичні, то вони не допускають рівномірно збіжних розкладів у вигляді рядів Фур'є. Функція дробової частини має розклад у ряд Фур'є
для x не цілого числа.
У точках розриву ряд Фур'є збігається до значення, яке є середнім його границь зліва та справа, на відміну від функцій підлоги, стелі та дробової частини: для фіксованого y і x кратного y ряд Фур'є дає збіжність до y/2, а не до . У точках неперервності ряд збігається до відповідного значення функції.
З формули отримуємо
для x не цілого числа.
Позначення та приклади
Для цілої частини числа довгий час використовувалось позначення , введене Гаусом.
В 1962 році Кеннет Айверсон запропонував заокруглення числа до найближчого цілого в меншу і більшу сторони називати «підлога» і «стеля» і позначати і відповідно. У цих позначеннях .
В сучасній математиці вживають обидва позначення, і , однак існує тенденція переходу до термінології і позначень Айверсона. Одна з причин цього — потенційна неоднозначність поняття «ціла частина числа». Наприклад, ціла частина числа 2,7 рівна 2, але можливі дві думки на те, як визначити цілу частину числа −2,7. Відповідно до даного в цій статті визначення , однак в деяких калькуляторах наявна функція цілої частини числа INT, для від'ємних чисел визначена як INT(-x) = -INT(x), таким чином INT(-2,7) = −2. В термінології Айверсона відсутні можливі неоднозначності:
Примітки
- Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994), Concrete Mathematics, Reading Ma.: Addison-Wesley.
- Graham, Knuth, Patashnik, p. 73
- Graham, Knuth, Patashnik, p. 85,
- Graham, Knuth, Patashnik, p. 85 and Ex. 3.15
- Graham, Knuth, Patashnik, Ex. 3.12
- J.E. Blazek, Combinatoire de N-modules de Catalan}, Master's thesis, page 17.
- Graham, Knuth, Patashnik, p. 94
- Graham, Knuth, Patashnik, p. 71, apply theorem 3.10 with x/m as input and the division by n as function
- Titchmarsh, p. 15, Eq. 2.1.7
- Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 88.
Див. також
Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Cila chastina dijsnogo chisla x displaystyle x najbilshe cile chislo yake ne bilshe nizh x displaystyle x Cila chastina chisla x displaystyle x zazvichaj poznachayetsya yak x displaystyle x Grafik funkciyi y x displaystyle y x abo y x displaystyle y lfloor x rfloor Grafik funkciyi y x displaystyle y lceil x rceil V informatici poryad z funkciyeyu cila chastina vikoristovuyut funkciyi pidloga angl floor ta stelya angl ceiling Funkciya pidloga poznachayetsya yak y x displaystyle y lfloor x rfloor ta zbigayetsya z ciloyu chastinoyu funkciya steli poznachayetsya yak x displaystyle lceil x rceil ta dorivnyuye najmenshomu cilomu chislu yake ne menshe za x displaystyle x Viznachennya za dopomogoyu nerivnostej taki x max m Z m x displaystyle lfloor x rfloor max m in mathbb Z mid m leqslant x x min n Z n x displaystyle lceil x rceil min n in mathbb Z mid n geqslant x Oskilki v napivvidkritomu intervali dovzhini 1 ye rivno odne cile chislo to dlya bud yakogo dijsnogo x isnuyut yedini cili chisla m i n sho zadovolnyayut nerivnist x 1 lt m x n lt x 1 displaystyle x 1 lt m leq x leq n lt x 1 Todi x m displaystyle lfloor x rfloor m i x n displaystyle lceil x rceil n takozh mozhna prijmati yak oznachennya funkcij pidlogi ta steli Ekvivalentnosti Nastupni formuli mozhna vikoristovuvati dlya sproshennya viraziv sho vklyuchayut funkcij pidlogi ta steli x m todi i tilki todi m x lt m 1 x n todi i tilki todi n 1 lt x n x m todi i tilki todi x 1 lt m x x n todi i tilki todi x n lt x 1 displaystyle begin aligned lfloor x rfloor m amp mbox todi i tilki todi amp m amp leq x lt m 1 lceil x rceil n amp mbox todi i tilki todi amp n 1 amp lt x leq n lfloor x rfloor m amp mbox todi i tilki todi amp x 1 amp lt m leq x lceil x rceil n amp mbox todi i tilki todi amp x amp leq n lt x 1 end aligned Na movi vidnoshen poryadku funkciya pidlogi ye zalishkovim vidobrazhennyam tobto chastinoyu vidpovidnosti Galua ce verhnye spryazhennya funkciyi yake vkladuye cili chisla v dijsni chisla x lt n todi i tilki todi x lt n n lt x todi i tilki todi n lt x x n todi i tilki todi x n n x todi i tilki todi n x displaystyle begin aligned x lt n amp mbox todi i tilki todi amp lfloor x rfloor amp lt n n lt x amp mbox todi i tilki todi amp n amp lt lceil x rceil x leq n amp mbox todi i tilki todi amp lceil x rceil amp leq n n leq x amp mbox todi i tilki todi amp n amp leq lfloor x rfloor end aligned Nastupni formuli pokazuyut yak dodavannya cilih chisel do argumentu vplivaye na funkciyi x n x n x n x n x n x displaystyle begin aligned lfloor x n rfloor amp lfloor x rfloor n lceil x n rceil amp lceil x rceil n x n amp x end aligned Vishezaznacheni formuli nevirni yaksho n ne ye cilim chislom odnak dlya bud yakih x y mayut misce nastupni nerivnosti x y x y x y 1 x y 1 x y x y displaystyle begin aligned lfloor x rfloor lfloor y rfloor amp leq lfloor x y rfloor leq lfloor x rfloor lfloor y rfloor 1 lceil x rceil lceil y rceil 1 amp leq lceil x y rceil leq lceil x rceil lceil y rceil end aligned Spivvidnoshennya mizh funkciyami Z oznachen viplivaye sho x x displaystyle lfloor x rfloor leq lceil x rceil prichomu rivnist mozhliva todi i tilki todi koli x cile chislo tobto x x 0 yakshox Z 1 yakshox Z displaystyle lceil x rceil lfloor x rfloor begin cases 0 amp mbox yaksho x in mathbb Z 1 amp mbox yaksho x not in mathbb Z end cases Naspravdi dlya cilih chisel n i znachennya funkcij pidlogi i steli zbigayutsya n n n displaystyle lfloor n rfloor lceil n rceil n Zmina znaku argumentu minyaye miscyami funkciyi pidlogi ta steli i zminyuye znak x x 0 x x x x displaystyle begin aligned lfloor x rfloor lceil x rceil 0 lfloor x rfloor lceil x rceil lceil x rceil lfloor x rfloor end aligned i x x 0yaksho x Z 1yaksho x Z displaystyle lfloor x rfloor lfloor x rfloor begin cases 0 amp text yaksho x in mathbb Z 1 amp text yaksho x not in mathbb Z end cases x x 0 yaksho x Z1yaksho x Z displaystyle lceil x rceil lceil x rceil begin cases 0 amp text yaksho x in mathbb Z 1 amp text yaksho x not in mathbb Z end cases Zmina znaku argumentu dopovnyuye drobovu chastinu x x 0 yakshox Z 1 yakshox Z displaystyle x x begin cases 0 amp text yaksho x in mathbb Z 1 amp text yaksho x not in mathbb Z end cases Funkciyi pidlogi steli ta drobovoyi chastini ye idempotentnimi x x x x x x displaystyle begin aligned Big lfloor lfloor x rfloor Big rfloor amp lfloor x rfloor Big lceil lceil x rceil Big rceil amp lceil x rceil Big x Big amp x end aligned Rezultatom kompoziciyi funkcij pidlogi ta steli ye vnutrishnya funkciya x x x x displaystyle begin aligned Big lfloor lceil x rceil Big rfloor amp lceil x rceil Big lceil lfloor x rfloor Big rceil amp lfloor x rfloor end aligned zavdyaki vlastivosti totozhnosti dlya cilih chisel Chastki Yaksho m i n cili chisla a n 0 to 0 mn 1 1 n displaystyle 0 leq left frac m n right leq 1 frac 1 n Yaksho n naturalne chislo to x mn x mn displaystyle left lfloor frac x m n right rfloor left lfloor frac lfloor x rfloor m n right rfloor x mn x mn displaystyle left lceil frac x m n right rceil left lceil frac lceil x rceil m n right rceil Yaksho m dodatne to n nm n 1m n m 1m displaystyle n left lceil frac n m right rceil left lceil frac n 1 m right rceil dots left lceil frac n m 1 m right rceil n nm n 1m n m 1m displaystyle n left lfloor frac n m right rfloor left lfloor frac n 1 m right rfloor dots left lfloor frac n m 1 m right rfloor Dlya m 2 otrimuyemo n n2 n2 displaystyle n left lfloor frac n 2 right rfloor left lceil frac n 2 right rceil U zagalnomu vipadku dlya dodatnogo m div totozhnist Ermita mx x x 1m x m 1m displaystyle lfloor mx rceil lceil x rceil left lceil x frac 1 m right rceil dots left lceil x frac m 1 m right rceil mx x x 1m x m 1m displaystyle lfloor mx rfloor lfloor x rfloor left lfloor x frac 1 m right rfloor dots left lfloor x frac m 1 m right rfloor Dlya peretvorennya mizh funkciyami pidlogi ta steli mozhna vikoristati nastupni formuli m dodatne nm n m 1m n 1m 1 displaystyle left lceil frac n m right rceil left lfloor frac n m 1 m right rfloor left lfloor frac n 1 m right rfloor 1 nm n m 1m n 1m 1 displaystyle left lfloor frac n m right rfloor left lceil frac n m 1 m right rceil left lceil frac n 1 m right rceil 1 Dlya vsih naturalnih chisel m i n k 1n 1 kmn m 1 n 1 gcd m n 12 displaystyle sum k 1 n 1 left lfloor frac km n right rfloor frac left m 1 right left n 1 right gcd left m n right 1 2 yaka pri dodatnih Vzayemno prosti chisla vzayemnoprostih m i n zvoditsya do k 1n 1 kmn 12 m 1 n 1 displaystyle sum k 1 n 1 left lfloor frac km n right rfloor frac 1 2 left m 1 right left n 1 right Oskilki prava chastina u zagalnogo vipadku simetrichna vidnosno m i n to mn 2mn n 1 mn nm 2nm m 1 nm displaystyle left lfloor frac m n right rfloor left lfloor frac 2m n right rfloor dots left lfloor frac left n 1 right m n right rfloor left lfloor frac n m right rfloor left lfloor frac 2n m right rfloor dots left lfloor frac left m 1 right n m right rfloor I nareshti dlya dodatnih m i n xn m xn 2m xn n 1 m xn xm n xm 2n xm m 1 n xm displaystyle begin aligned amp left lfloor frac x n right rfloor left lfloor frac m x n right rfloor left lfloor frac 2m x n right rfloor dots left lfloor frac n 1 m x n right rfloor amp left lfloor frac x m right rfloor left lfloor frac n x m right rfloor left lfloor frac 2n x m right rfloor cdots left lfloor frac m 1 n x m right rfloor end aligned ce spivvidnoshennya inodi nazivayut zakonom vzayemnosti Vkladeni chastki Dlya dodatnogo cilogo n i dovilnih dijsnih chisel m x x m n xmn displaystyle left lfloor frac lfloor x m rfloor n right rfloor left lfloor frac x mn right rfloor x m n xmn displaystyle left lceil frac lceil x m rceil n right rceil left lceil frac x mn right rceil Neperervnist ta rozkladennya u ryadi Zhodna z funkcij obgovoryuvanih u cij statti ne ye neperervnoyu ale vsi kuskovo linijni funkciyi x displaystyle lfloor x rfloor x displaystyle lceil x rceil i x displaystyle x mayut rozrivi v cilih chislah Funkciya x displaystyle lfloor x rfloor ye napivneperervnoyu zverhu i funkciyi x displaystyle lceil x rceil i x displaystyle x napivneperervni znizu Oskilki zhodna z funkcij rozglyanutih u cij statti ne ye neperervnoyu tomu zhodna z nih ne dopuskaye rozklad u viglyadi stepenevih ryadiv Oskilki funkciyi pidlogi i steli neperiodichni to voni ne dopuskayut rivnomirno zbizhnih rozkladiv u viglyadi ryadiv Fur ye Funkciya drobovoyi chastini maye rozklad u ryad Fur ye x 12 1p k 1 sin 2pkx k displaystyle x frac 1 2 frac 1 pi sum k 1 infty frac sin left 2 pi kx right k dlya x ne cilogo chisla U tochkah rozrivu ryad Fur ye zbigayetsya do znachennya yake ye serednim jogo granic zliva ta sprava na vidminu vid funkcij pidlogi steli ta drobovoyi chastini dlya fiksovanogo y i x kratnogo y ryad Fur ye daye zbizhnist do y 2 a ne do xmody 0 displaystyle x mod y 0 U tochkah neperervnosti ryad zbigayetsya do vidpovidnogo znachennya funkciyi Z formuli x x x displaystyle lfloor x rfloor x x otrimuyemo x x 12 1p k 1 sin 2pkx k displaystyle lfloor x rfloor x frac 1 2 frac 1 pi sum k 1 infty frac sin 2 pi kx k dlya x ne cilogo chisla Poznachennya ta prikladiDlya ciloyi chastini chisla x displaystyle x dovgij chas vikoristovuvalos poznachennya x displaystyle x vvedene Gausom V 1962 roci Kennet Ajverson zaproponuvav zaokruglennya chisla x displaystyle x do najblizhchogo cilogo v menshu i bilshu storoni nazivati pidloga i stelya x displaystyle x i poznachati x displaystyle lfloor x rfloor i x displaystyle lceil x rceil vidpovidno U cih poznachennyah x x displaystyle x lfloor x rfloor V suchasnij matematici vzhivayut obidva poznachennya x displaystyle x i x displaystyle lfloor x rfloor odnak isnuye tendenciya perehodu do terminologiyi i poznachen Ajversona Odna z prichin cogo potencijna neodnoznachnist ponyattya cila chastina chisla Napriklad cila chastina chisla 2 7 rivna 2 ale mozhlivi dvi dumki na te yak viznachiti cilu chastinu chisla 2 7 Vidpovidno do danogo v cij statti viznachennya x x 3 displaystyle x equiv lfloor x rfloor 3 odnak v deyakih kalkulyatorah nayavna funkciya ciloyi chastini chisla INT dlya vid yemnih chisel viznachena yak INT x INT x takim chinom INT 2 7 2 V terminologiyi Ajversona vidsutni mozhlivi neodnoznachnosti 2 7 2 2 7 3 2 7 3 2 7 2 displaystyle begin matrix lfloor 2 7 rfloor 2 amp lfloor 2 7 rfloor 3 lceil 2 7 rceil 3 amp lceil 2 7 rceil 2 end matrix PrimitkiGraham Ronald L Knuth Donald E Patashnik Oren 1994 Concrete Mathematics Reading Ma Addison Wesley Graham Knuth Patashnik p 73 Graham Knuth Patashnik p 85 Graham Knuth Patashnik p 85 and Ex 3 15 Graham Knuth Patashnik Ex 3 12 J E Blazek Combinatoire de N modules de Catalan Master s thesis page 17 Graham Knuth Patashnik p 94 Graham Knuth Patashnik p 71 apply theorem 3 10 with x m as input and the division by n as function Titchmarsh p 15 Eq 2 1 7 R Grehem D Knut O Patashnik Konkretnaya matematika S 88 Div takozhDrobova chastina chisla Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi