Векторний простір над полем називається унітарним, якщо кожній парі векторів з , взятих у визначеному порядку, поставлено у відповідність деяке число з , що називається скалярним добутком вектора на вектор та має такі властивості:
- ;
- для довільних ;
- ;
- .
Аби розрізняти унітарний та евклідів простір, для скалярного добутку в унітарному просторі часто вживаються кутові дужки ("брекети"): .
Поняття унітарного простору є аналогом евклідового простору.
Унітарні простори зазвичай скінченновимірні. У нескінченновимірному випадку розглядаються натомість гільбертові простори. Поняття ермітового простору припускає алгебричне узагальнення, яке застосовується у теорії груп, дискретній математиці і теорії кодування.
Приклади унітарного простору
Простір -вимірних стовпчиків
де
- комплексні числа,
.
Скалярний добуток .
Виявляється, що будь-який -вимірний унітарний простір
є ізоморфним до
. Цей ізоморфізм досягається обранням ортонормального базису в
Узагальнення
Унітарний простір є частковим випадком гільбертового простору, а саме, він є комплексним гільбертовим простором.
І саме така назва є поширенішою в сучасній літературі.
В сучасній абстрактній алгебрі розглядаються векторні простори над довільними полями.
Припустимо, що на полі задана нетривіальна інволюція, тобто автоморфізм порядка
:
з інваріантним підполем
Якщо уявити собі, що поле
аналогічне до поля комплексних чисел, інволюція
— це комплексне спряження, тоді поле
аналогічне до поля дійсних чисел. Можна розглянути векторний простір
над
з (сесквілінійною) невиродженною ермітовою
-значною формою
.
Такий простір називається псевдоермітовим векторним простором над . Якщо на додаток
є звуженням комплексного спряження на
і ермітова форма позитивно-визначена, тобто
— додатне число для будь-якого ненульового
то
називається ермітовим векторним простором над
. Ще більше узагальнення можна отримати, якщо замінити поле
на (некомутативну) (алгебру з інволюцією)
над
і розглянути лівий
-модуль замість векторного простору
Викладена вище конструкція використовується у теорії для винаходження аналогів комплексної унітарної групи над полем А саме, слід розглянути групу ізометрій (псевдо)ермітового простору
тобто множину обертованих лінійних перетвореннь
які не змінюють форму, тобто виконується
для будь-яких
У такий спосіб будується сімейство близьких до простих алгебраїчних груп над полем
Зокрема, для скінченого поля
отримуємо одне з нескінчених сімейств . Цікаво відзначити, що ця нібито абстрактна конструкція має несподіванне застосування у дуже прикладній теорії кодування, в контексті . Різноманітні геометричні об'єкти пов'язані з ермітовими просторами над скінченими полями викликають неабиякий інтерес у дискретній математиці.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет