Теорема про зміну імпульсу (кількості руху) системи — одна із загальних теорем динаміки, наслідок законів Ньютона. Зв'язує кількість руху з імпульсом зовнішніх сил, що діють на тіла, які складають систему. Системою, про яку йдеться в теоремі, може виступати будь-яка механічна система, що складається з будь-яких тіл.
Формулювання теореми
Кількістю руху (імпульсом) механічної системи називають величину, рівну сумі кількостей руху (імпульсів) усіх тіл, що входять у систему. Імпульс зовнішніх сил, що діють на тіла системи, це сума імпульсів усіх зовнішніх сил, що діють на тіла системи. Теорема про зміну кількості руху системи стверджує:
Зміна кількості руху системи за деякий проміжок часу дорівнює імпульсу зовнішніх сил, що діють на систему, за той самий проміжок часу.
Теорема допускає узагальнення в разі неінерційних систем відліку. У цьому випадку до зовнішніх сил необхідно додавати переносні та коріолісові сили інерції.
Доведення
Нехай система складається з матеріальних точок з масами
та прискореннями
. Усі сили, що діють на тіла системи, розділимо на два види:
- Зовнішні сили — сили, що діють з боку тіл, які не входять до системи, що розглядається. Рівнодійну зовнішніх сил, що діють на матеріальну точку з номером
, позначимо
.
- Внутрішні сили — це сили, з якими взаємодіють одне з одним тіла самої системи. Силу, з якою на точку з номером
діє точка з номером
будемо позначати
, а силу дії
-ої точки на
-ту точку —
. Очевидно, що якщо
, то
Використовуючи введені позначення, запишемо другий закон Ньютона для кожної з матеріальних точок, що розглядаються, у вигляді
Враховуючи, що , і підсумовуючи всі рівняння другого закону Ньютона, отримуємо:
Вираз є сумою всіх внутрішніх сил, що діють у системі. За третім законом Ньютона в цій сумі кожній силі
відповідає сила
така, що
і, отже, виконується
Оскільки вся сума складається з таких пар, то сама сума дорівнює нулю. Таким чином, можна записати
Використовуючи для кількості руху системи позначення
, отримаємо
Увівши зміну імпульсу зовнішніх сил , отримаємо вираз теореми про зміну кількості руху системи в диференціальній формі:
Таким чином, кожне з останніх отриманих рівнянь дозволяє стверджувати: зміна кількості руху системи відбувається тільки внаслідок дії зовнішніх сил, а внутрішні сили ніяк вплинути на цю величину не можуть.
Проінтегрувавши обидві частини отриманої рівності за довільно взятим проміжком часу між деякими і
, отримаємо вираз теореми про зміну кількості руху системи в інтегральній формі:
де і
— значення кількості руху системи в моменти часу
і
відповідно, а
— імпульс зовнішніх сил за проміжок часу
. Відповідно до сказаного раніше та введених позначень, виконується
Закон збереження кількості руху системи
З теореми про зміну кількості руху системи випливає, що за відсутності зовнішніх сил (замкнута система), а також за рівності суми всіх зовнішніх сил нулю виконується і
. Інакше кажучи, справедливе співвідношення
Отже, маємо висновок:
Якщо сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю, кількість руху (імпульс) системи є величина стала.
Це твердження становить зміст закону збереження кількості руху системи.
Можливі випадки, коли сума зовнішніх сил нулю не дорівнює, але дорівнює нулю її проєкція на напрям. Тоді дорівнює нулю і зміна проєкції кількості руху системи на цей напрямок, тобто, як кажуть, зберігається кількість руху в цьому напрямку.
Випадок системи з ідеальними стаціонарними зв'язками
У тих випадках, коли предметом вивчення є лише рух системи, а реакції зв'язків не цікаві, користуються формулюванням теореми для системи з ідеальними стаціонарними зв'язками, яке виводиться з урахуванням принципу д'Аламбера — Лагранжа. Теорема про зміну кількості руху системи з ідеальними стаціонарними зв'язками стверджує:
Якщо ідеальні стаціонарні зв'язки допускають у будь-який момент поступальне переміщення системи паралельно до деякої нерухомої осі
, то похідна за часом від проєкції кількості руху системи на вісь
дорівнює сумі проєкцій на ту ж вісь всіх зовнішніх активних сил, що діють на систему.
«Активні» стосовно сил (нижче у формулах їх позначено символом ) означає «ті, що не є реакціями зв'язків».
Дійсно, за умовою, в будь-який момент усі точки системи допускають зміщення на паралельно до нерухомої осі
. Замінюючи в
на
, отримуємо:
або
або
остаточно знаходимо:
У передостанньому рівнянні до суми активних сил включено зовнішні активні та внутрішні активні сили. Однак геометрична сума внутрішніх активних сил, як попарно рівних та протилежних, дорівнює нулю, тому в остаточному рівнянні представлено лише зовнішні (введено додатковий значок
від англ. external) активні сили.
Історія
Про закон збереження кількості руху Ісаак Ньютон у своїй знаменитій праці «Математичні начала натуральної філософії», виданій 1687 року, писав: «Кількість руху, одержувана беручи суму кількостей руху, коли вони здійснюються в один бік, і різницю, коли вони відбуваються в боки протилежні, не змінюється від взаємодії тіл між собою». Коментатор, у зв'язку з цим формулюванням, зазначає, що, хоча в ньому розглянуто лише випадок руху тіл уздовж однієї прямої, І. Ньютон, як показують його інші висловлювання в тій самій книзі, у своїх поглядах цим окремим випадком не обмежувався.
Див. також
Примітки
- Краткий курс теоретической механики. — М. : Высшая школа, 1995. — С. 280—284. — .
- Маркеев А. П. Теоретическая механика. — М. : ЧеРО, 1999. — С. 157—159.
- Жирнов Н. И. Классическая механика. — Серия: учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов. — М., Просвещение, 1980. — Тираж 28 000 экз. — с. 260
- Бугаенко Г. А., , Основы классической механики. — М.: Высшая школа, 1999. — С. 221. —
- Исаак Ньютон. Математические начала натуральной философии = Philosophia naturalis principia matematica / Перевод с латинского и примечания А. Н. Крылова. — М. : Наука, 1989. — С. 45. — (Классики науки) — .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teorema pro zminu impulsu kilkosti ruhu sistemi odna iz zagalnih teorem dinamiki naslidok zakoniv Nyutona Zv yazuye kilkist ruhu z impulsom zovnishnih sil sho diyut na tila yaki skladayut sistemu Sistemoyu pro yaku jdetsya v teoremi mozhe vistupati bud yaka mehanichna sistema sho skladayetsya z bud yakih til Formulyuvannya teoremiKilkistyu ruhu impulsom mehanichnoyi sistemi nazivayut velichinu rivnu sumi kilkostej ruhu impulsiv usih til sho vhodyat u sistemu Impuls zovnishnih sil sho diyut na tila sistemi ce suma impulsiv usih zovnishnih sil sho diyut na tila sistemi Teorema pro zminu kilkosti ruhu sistemi stverdzhuye Zmina kilkosti ruhu sistemi za deyakij promizhok chasu dorivnyuye impulsu zovnishnih sil sho diyut na sistemu za toj samij promizhok chasu Teorema dopuskaye uzagalnennya v razi neinercijnih sistem vidliku U comu vipadku do zovnishnih sil neobhidno dodavati perenosni ta koriolisovi sili inerciyi DovedennyaNehaj sistema skladayetsya z N displaystyle N materialnih tochok z masami mi displaystyle m i ta priskorennyami a i displaystyle vec a i Usi sili sho diyut na tila sistemi rozdilimo na dva vidi Zovnishni sili sili sho diyut z boku til yaki ne vhodyat do sistemi sho rozglyadayetsya Rivnodijnu zovnishnih sil sho diyut na materialnu tochku z nomerom i displaystyle i poznachimo F i displaystyle vec F i Vnutrishni sili ce sili z yakimi vzayemodiyut odne z odnim tila samoyi sistemi Silu z yakoyu na tochku z nomerom i displaystyle i diye tochka z nomerom k displaystyle k budemo poznachati f i k displaystyle vec f i k a silu diyi i displaystyle i oyi tochki na k displaystyle k tu tochku f k i displaystyle vec f k i Ochevidno sho yaksho i k displaystyle i k to f i k 0 displaystyle vec f i k 0 Vikoristovuyuchi vvedeni poznachennya zapishemo drugij zakon Nyutona dlya kozhnoyi z materialnih tochok sho rozglyadayutsya u viglyadi mia i F i kf i k displaystyle m i vec a i vec F i sum limits k vec f i k Vrahovuyuchi sho mia i midv idt d miv i dt displaystyle m i vec a i m i frac d vec v i dt frac d m i vec v i dt i pidsumovuyuchi vsi rivnyannya drugogo zakonu Nyutona otrimuyemo id miv i dt iF i i kf i k displaystyle sum limits i frac d m i vec v i dt sum limits i vec F i sum limits i sum limits k vec f i k Viraz i kf i k displaystyle sum limits i sum limits k vec f i k ye sumoyu vsih vnutrishnih sil sho diyut u sistemi Za tretim zakonom Nyutona v cij sumi kozhnij sili f i k displaystyle vec f i k vidpovidaye sila f k i displaystyle vec f k i taka sho f i k f k i displaystyle vec f i k vec f k i i otzhe vikonuyetsya f i k f k i 0 displaystyle vec f i k vec f k i 0 Oskilki vsya suma skladayetsya z takih par to sama suma dorivnyuye nulyu Takim chinom mozhna zapisati id miv i dt iF i displaystyle sum limits i frac d m i vec v i dt sum limits i vec F i Vikoristovuyuchi dlya kilkosti ruhu sistemi imiv i displaystyle sum limits i m i vec v i poznachennya P displaystyle vec P otrimayemo dP dt iF i displaystyle frac d vec P dt sum limits i vec F i Uvivshi zminu impulsu zovnishnih sil dR iF idt displaystyle d vec R sum limits i vec F i dt otrimayemo viraz teoremi pro zminu kilkosti ruhu sistemi v diferencialnij formi dP dR displaystyle d vec P d vec R Takim chinom kozhne z ostannih otrimanih rivnyan dozvolyaye stverdzhuvati zmina kilkosti ruhu sistemi vidbuvayetsya tilki vnaslidok diyi zovnishnih sil a vnutrishni sili niyak vplinuti na cyu velichinu ne mozhut Prointegruvavshi obidvi chastini otrimanoyi rivnosti za dovilno vzyatim promizhkom chasu mizh deyakimi t1 displaystyle t 1 i t2 displaystyle t 2 otrimayemo viraz teoremi pro zminu kilkosti ruhu sistemi v integralnij formi P 2 P 1 R t2 t1 displaystyle vec P 2 vec P 1 vec R t 2 t 1 de P 1 displaystyle vec P 1 i P 2 displaystyle vec P 2 znachennya kilkosti ruhu sistemi v momenti chasu t1 displaystyle t 1 i t2 displaystyle t 2 vidpovidno a R t2 t1 displaystyle vec R t 2 t 1 impuls zovnishnih sil za promizhok chasu t2 t1 displaystyle t 2 t 1 Vidpovidno do skazanogo ranishe ta vvedenih poznachen vikonuyetsya R t2 t1 i t1t2F i t dt displaystyle vec R t 2 t 1 sum limits i int limits t 1 t 2 vec F i t dt Zakon zberezhennya kilkosti ruhu sistemiZ teoremi pro zminu kilkosti ruhu sistemi viplivaye sho za vidsutnosti zovnishnih sil zamknuta sistema a takozh za rivnosti sumi vsih zovnishnih sil nulyu vikonuyetsya dP 0 displaystyle d vec P 0 i P 2 P 1 0 displaystyle vec P 2 vec P 1 0 Inakshe kazhuchi spravedlive spivvidnoshennya P const displaystyle vec P const Otzhe mayemo visnovok Yaksho suma vsih zovnishnih sil sho diyut na sistemu dorivnyuye nulyu kilkist ruhu impuls sistemi ye velichina stala Ce tverdzhennya stanovit zmist zakonu zberezhennya kilkosti ruhu sistemi Mozhlivi vipadki koli suma zovnishnih sil nulyu ne dorivnyuye ale dorivnyuye nulyu yiyi proyekciya na napryam Todi dorivnyuye nulyu i zmina proyekciyi kilkosti ruhu sistemi na cej napryamok tobto yak kazhut zberigayetsya kilkist ruhu v comu napryamku Vipadok sistemi z idealnimi stacionarnimi zv yazkamiOsnovne dzherelo U tih vipadkah koli predmetom vivchennya ye lishe ruh sistemi a reakciyi zv yazkiv ne cikavi koristuyutsya formulyuvannyam teoremi dlya sistemi z idealnimi stacionarnimi zv yazkami yake vivoditsya z urahuvannyam principu d Alambera Lagranzha Teorema pro zminu kilkosti ruhu sistemi z idealnimi stacionarnimi zv yazkami stverdzhuye Yaksho idealni stacionarni zv yazki dopuskayut u bud yakij moment postupalne peremishennya sistemi paralelno do deyakoyi neruhomoyi osi x displaystyle x to pohidna za chasom vid proyekciyi kilkosti ruhu sistemi na vis x displaystyle x dorivnyuye sumi proyekcij na tu zh vis vsih zovnishnih aktivnih sil sho diyut na sistemu Aktivni stosovno sil nizhche u formulah yih poznacheno simvolom a displaystyle a oznachaye ti sho ne ye reakciyami zv yazkiv Dijsno za umovoyu v bud yakij moment usi tochki sistemi dopuskayut zmishennya na dx displaystyle delta x paralelno do neruhomoyi osi x displaystyle x Zaminyuyuchi v dr k displaystyle delta vec r k na i dx displaystyle vec i delta x otrimuyemo mkw k i dx F k i dx displaystyle sum m k vec w k vec i delta x sum vec F k vec i delta x abo ddt mkv k i F k i displaystyle frac d dt sum m k vec v k vec i sum vec F k vec i abo dP dti F ka i displaystyle frac d vec P dt vec i sum vec F k a vec i ostatochno znahodimo dP dt F kxea displaystyle frac d vec P dt sum vec F kx ea U peredostannomu rivnyanni do sumi aktivnih sil F ka displaystyle vec F k a vklyucheno zovnishni aktivni ta vnutrishni aktivni sili Odnak geometrichna suma vnutrishnih aktivnih sil yak poparno rivnih ta protilezhnih dorivnyuye nulyu tomu v ostatochnomu rivnyanni predstavleno lishe zovnishni vvedeno dodatkovij znachok e displaystyle e vid angl external aktivni sili IstoriyaPro zakon zberezhennya kilkosti ruhu Isaak Nyuton u svoyij znamenitij praci Matematichni nachala naturalnoyi filosofiyi vidanij 1687 roku pisav Kilkist ruhu oderzhuvana beruchi sumu kilkostej ruhu koli voni zdijsnyuyutsya v odin bik i riznicyu koli voni vidbuvayutsya v boki protilezhni ne zminyuyetsya vid vzayemodiyi til mizh soboyu Komentator u zv yazku z cim formulyuvannyam zaznachaye sho hocha v nomu rozglyanuto lishe vipadok ruhu til uzdovzh odniyeyi pryamoyi I Nyuton yak pokazuyut jogo inshi vislovlyuvannya v tij samij knizi u svoyih poglyadah cim okremim vipadkom ne obmezhuvavsya Div takozhTeorema pro ruh centra mas sistemi Teorema pro kinetichnu energiyu sistemi Teorema pro zminu momentu impulsu sistemiPrimitkiKratkij kurs teoreticheskoj mehaniki M Vysshaya shkola 1995 S 280 284 ISBN 5 06 003117 9 Markeev A P Teoreticheskaya mehanika M CheRO 1999 S 157 159 Zhirnov N I Klassicheskaya mehanika Seriya uchebnoe posobie dlya studentov fiziko matematicheskih fakultetov pedagogicheskih institutov M Prosveshenie 1980 Tirazh 28 000 ekz s 260 Bugaenko G A Osnovy klassicheskoj mehaniki M Vysshaya shkola 1999 S 221 ISBN 5 06 003587 5 Isaak Nyuton Matematicheskie nachala naturalnoj filosofii Philosophia naturalis principia matematica Perevod s latinskogo i primechaniya A N Krylova M Nauka 1989 S 45 Klassiki nauki ISBN 5 02 000747 1