Теорема Люрота

Теорема Люрота — важливий результат у теорії полів, що має важливі застосування для алгебричної теорії чисел і алгебричної геометрії. Теорема названа на честь німецького математика Якоба Люрота, який довів її у 1876 році.

Твердження теореми

Нехай ${\displaystyle K(t):K}$ — просте розширення поля і елемент t є трансцендентним над K. Якщо L є підполем K(t), що містить K і не є йому рівним то ${\displaystyle L:K}$ теж є простим розширенням. Це розширення теж буде трансцендентним і відповідно буде ізоморфним полю ${\displaystyle K(t)}$

Доведення

Якщо ${\displaystyle s\in L\setminus K}$, то його можна записати як ${\displaystyle s=p(t)/q(t)}$ де ${\displaystyle p,q\in K[x]}$ є ненульовими многочленами. Тоді ${\displaystyle q(t)s-p(t)=0}$, і t є алгебричним елементом над полем L.

Нехай m — мінімальний многочлен елемента t над L. m можна розглядати як елемент ${\displaystyle K(t)[x].}$ Тоді існує ${\displaystyle \beta \in K(t)}$ для якого ${\displaystyle \beta m=f}$, де

${\displaystyle f=a_{0}(t)+a_{1}(t)x+\ldots +a_{n}(t)x^{n}}$

є примітивним многочленом у кільці ${\displaystyle K[t][x]}$ (тобто найбільший спільний дільник елементів ${\displaystyle a_{i}(t)\in K[t],}$ що є ненульовими коефіцієнтами біля степенів x є рівним 1). Зауважимо що ${\displaystyle n=\deg(m)=[K(t):L]}$.

Оскільки старший коефіцієнт m рівний 1, ${\displaystyle \beta =a_{n}(t)}$ і всі частки ${\displaystyle a_{i}(t)/a_{n}(t)}$ належать полю L; з іншого боку вони не можуть всі належати полю K, оскільки t є трансцендентним елементом над K. Отож існує ${\displaystyle 0\leqslant i<n,}$ для якого ${\displaystyle u:=a_{i}(t)/a_{n}(t)\in L\setminus K.}$

Можна записати ${\displaystyle u=g(t)/h(t)}$ де g і h є взаємно простими многочленами у ${\displaystyle K[t]}$. Нехай ${\displaystyle r=\max(\deg(g),\deg(h))}$. Тоді, як неважко помітити, ${\displaystyle [K(t):K(u)]=r}$. Оскільки ${\displaystyle K(u)\subset L}$, це означає що ${\displaystyle r\geqslant n.}$ Тому для доведення теореми достатньо довести, що також ${\displaystyle r\leqslant n.}$, бо тоді отримаємо, що ${\displaystyle L=K(u).}$

Розглянемо вираз ${\displaystyle l=g(t)h(x)-h(t)g(x).}$ Оскільки g і h є взаємно простими, l не є рівним нулю. Із попередніх означень отримуємо ${\displaystyle (h(t))^{-1}l\in L[x]}$, і t є коренем цього многочлена. Тому m ділить ${\displaystyle (h(t))^{-1}l}$ в ${\displaystyle L[x]}$ і, як наслідок, f ділить l в ${\displaystyle K(t)[x].}$ Але f є примітивним многочленом у ${\displaystyle K[t][x]}$ і тому з леми Гауса випливає, що f ділить l у ${\displaystyle K[t][x],}$ тобто існує ${\displaystyle j\in K[t][x]}$ такий що ${\displaystyle l=fj.}$

Вирази ${\displaystyle l,f,j}$ можна розглядати як елементи ${\displaystyle K[t][x]}$ або як елементи ${\displaystyle K[x][t]}$: позначатимемо степінь по змінній x як ${\displaystyle \deg _{x}}$ і степінь по змінній t як ${\displaystyle \deg _{t}.}$

Маємо ${\displaystyle \deg _{t}(l)\leqslant r}$ і ${\displaystyle \deg _{t}(f)\geqslant r}$ оскільки ${\displaystyle r=\max(\deg g,\deg h)\leqslant \max(\deg(a_{i}(t)),\deg(a_{n}(t)))}$ зважаючи на те, що ${\displaystyle u=g(t)/h(t)=a_{i}(t)/a_{n}(t)}$ і g і h є взаємно простими; натомість очевидно ${\displaystyle \deg _{t}(f)\geqslant \max(\deg(a_{i}(t)),\deg(a_{n}(t)))}$.

Звідси, враховуючи рівність ${\displaystyle l=fj,}$ маємо ${\displaystyle \deg _{t}(f)=\deg _{t}(l)=r}$ і ${\displaystyle \deg _{t}(j)=0}$ або, іншими словами ${\displaystyle j\in K[x].}$ Зокрема це означає, що j є примітивним многочленом у ${\displaystyle K[t][x].}$ Оскільки це ж справедливо для f то, згідно леми Гауса, многочлен ${\displaystyle l=fj}$ теж є примітивним у ${\displaystyle K[t][x].}$. Але l є кососиметричним щодо змінних t і x і тому l є примітивним многочленом у ${\displaystyle K[x][t]}$. Проте ${\displaystyle j\in K[x]}$ і j ділить l; отже j має бути оборотним у ${\displaystyle K[x]}$, тобто ${\displaystyle j\in K.}$ Звідси

${\displaystyle n=\deg _{x}(f)=\deg _{x}(l)=\deg _{t}(l)=\deg _{t}(f)\geqslant r,}$

що завершує доведення теореми.

Див. також

• Просте розширення поля
• Раціональні функції

Література

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — .(рос.)
• Cohn, P. M. (1991), Algebraic Numbers and Algebraic Functions, Chapman Hall/CRC Mathematics Series, т. 4, CRC Press, с. 148, ISBN 
• Garling, D.J.H. (1986), A Course in Galois Theory, Cambridge University Press, ISBN