Теорема Гурвіца — результат теорії чисел, про наближення ірраціональних чисел раціональними. Теорема була доведена Адольфом Гурвіцем у 1891 році.
Формулювання
Для будь-якого додатного дійсного числа і ірраціонального числа
існує нескінченна кількість взаємно простих цілих чисел
таких, що
.
Натомість для будь-якого числа існує ірраціональне число
таке, що нерівність
виконується лише для скінченної кількості взаємно простих цілих чисел
.
Доведення
Доведення першої частини теореми
Можна вважати, що .
Розглянемо ряд Фарея порядку N і і
два його послідовні члени для яких
. Можна вважати, що
або
. Справді, якщо
, то
і тому ряд Фарея
можна замінити на
, а одне з чисел
чи
на
.
Позначаючи , таким чином
або
. В будь-якому випадку
, оскільки
.
Звідси
.
З цієї нерівності отримуємо .
Таким чином один із інтервалів або
містить
і відповідно одне з чисел
або
задовольняє умову теореми.
Позначаючи це число маємо
і оскільки з властивостей рядів Фарея
для послідовних членів ряду
то звідси
. Оскільки число
було довільним (в процесі доведення його можливо замінено на деяке більше число), то обираючи різні такі числа ми отримаємо нескінченну кількість дробів
, що задовольняють умови теореми.
Контрприклад для другої частини теореми
Нехай , де
і
. Припустимо, що
. Це можна переписати як рівність
, де
. Після перегрупування доданків і піднесення до квадрату одержуємо
. Якщо розглянути
як многочлен від
, то
. Оскільки
і
є цілими числами і
це неможливо і тому
.
Оскільки то
, або
.
Тобто натуральне число може мати лише скінченну кількість значень. Тоді
теж може приймати скінченну кількість значень.
Література
- Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. — Москва : Мир, 1974. — 187 с.(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Teorema Gurvica Teorema Gurvica rezultat teoriyi chisel pro nablizhennya irracionalnih chisel racionalnimi Teorema bula dovedena Adolfom Gurvicem u 1891 roci FormulyuvannyaDlya bud yakogo dodatnogo dijsnogo chisla c 5 displaystyle c leqslant sqrt 5 i irracionalnogo chisla 3 displaystyle xi isnuye neskinchenna kilkist vzayemno prostih cilih chisel h k displaystyle h k takih sho 3 hk lt 1ck2 displaystyle left xi frac h k right lt frac 1 ck 2 Natomist dlya bud yakogo chisla c gt 5 displaystyle c gt sqrt 5 isnuye irracionalne chislo 3 displaystyle xi take sho nerivnist 3 hk lt 1ck2 displaystyle left xi frac h k right lt frac 1 ck 2 vikonuyetsya lishe dlya skinchennoyi kilkosti vzayemno prostih cilih chisel h k displaystyle h k DovedennyaDovedennya pershoyi chastini teoremi Mozhna vvazhati sho 0 lt 3 lt 1 displaystyle 0 lt xi lt 1 Rozglyanemo ryad Fareya poryadku N i ab displaystyle frac a b i a b displaystyle frac a b dva jogo poslidovni chleni dlya yakih ab lt 3 lt a b displaystyle frac a b lt xi lt frac a b Mozhna vvazhati sho b gt 5 12b displaystyle b gt frac sqrt 5 1 2 b abo b lt 5 12b displaystyle b lt frac sqrt 5 1 2 b Spravdi yaksho 5 12b lt b lt 5 12b displaystyle frac sqrt 5 1 2 b lt b lt frac sqrt 5 1 2 b to b b gt 5 12max b b displaystyle b b gt frac sqrt 5 1 2 max b b i tomu ryad Fareya FN displaystyle F N mozhna zaminiti na Fb b displaystyle F b b a odne z chisel ab displaystyle frac a b chi a b displaystyle frac a b na a a b b displaystyle frac a a b b Poznachayuchi w b b displaystyle omega frac b b takim chinom w gt 5 12 displaystyle omega gt frac sqrt 5 1 2 abo w lt 5 12 displaystyle omega lt frac sqrt 5 1 2 V bud yakomu vipadku 1 w 2 gt 5w 1 displaystyle 1 omega 2 gt sqrt 5 omega 1 oskilki 15 1 1w2 1w 15w2 w 5 12 w 5 12 gt 0 displaystyle frac 1 sqrt 5 left 1 frac 1 omega 2 right frac 1 omega frac 1 sqrt 5 omega 2 left omega frac sqrt 5 1 2 right left omega frac sqrt 5 1 2 right gt 0 Zvidsi 15 1b2 1b 2 15b2 1 1w2 gt 1wb2 displaystyle frac 1 sqrt 5 left frac 1 b 2 frac 1 b 2 right frac 1 sqrt 5 b 2 left 1 frac 1 omega 2 right gt frac 1 omega b 2 Z ciyeyi nerivnosti otrimuyemo a b ab 1bb 1wb2 lt 15 1b2 1b 2 displaystyle frac a b frac a b frac 1 bb frac 1 omega b 2 lt frac 1 sqrt 5 left frac 1 b 2 frac 1 b 2 right Takim chinom odin iz intervaliv ab ab 15b2 displaystyle left frac a b frac a b frac 1 sqrt 5 b 2 right abo a b 15 b 2 a b displaystyle left frac a b frac 1 sqrt 5 b 2 frac a b right mistit 3 displaystyle xi i vidpovidno odne z chisel ab displaystyle frac a b abo a b displaystyle frac a b zadovolnyaye umovu teoremi Poznachayuchi ce chislo hk displaystyle frac h k mayemo 3 hk lt a b ab 1bb 1b b 1 displaystyle left xi frac h k right lt frac a b frac a b frac 1 bb leqslant frac 1 b b 1 i oskilki z vlastivostej ryadiv Fareya FN displaystyle F N dlya poslidovnih chleniv ryadu b b N 1 displaystyle b b geqslant N 1 to zvidsi 3 hk lt 1N displaystyle left xi frac h k right lt frac 1 N Oskilki chislo N displaystyle N bulo dovilnim v procesi dovedennya jogo mozhlivo zamineno na deyake bilshe chislo to obirayuchi rizni taki chisla mi otrimayemo neskinchennu kilkist drobiv hk displaystyle frac h k sho zadovolnyayut umovi teoremi Kontrpriklad dlya drugoyi chastini teoremi Nehaj c 5a displaystyle c frac sqrt 5 alpha de 0 lt a lt 1 displaystyle 0 lt alpha lt 1 i 3 1 52 displaystyle xi frac 1 sqrt 5 2 Pripustimo sho hk 1 52 lt a5k2 displaystyle left frac h k frac 1 sqrt 5 2 right lt frac alpha sqrt 5 k 2 Ce mozhna perepisati yak rivnist 8 5k2 5 12 hk displaystyle theta sqrt 5 k 2 left frac sqrt 5 1 2 frac h k right de 8 a displaystyle theta leq alpha Pislya peregrupuvannya dodankiv i pidnesennya do kvadratu oderzhuyemo h2 hk k2 825k2 8 displaystyle h 2 hk k 2 frac theta 2 5k 2 theta Yaksho rozglyanuti P h h2 hk k2 displaystyle P h h 2 hk k 2 yak mnogochlen vid h displaystyle h to P h 0 h 1 5 k2 displaystyle P h 0 Leftrightarrow h frac 1 pm sqrt 5 k 2 Oskilki h displaystyle h i k displaystyle k ye cilimi chislami i k 0 displaystyle k neq 0 ce nemozhlivo i tomu h2 hk k2 1 displaystyle h 2 hk k 2 geq 1 Oskilki 8 a lt 1 displaystyle theta leqslant alpha lt 1 to 1 825k2 8 8 8 25k2 a a25k2 displaystyle 1 leq left frac theta 2 5k 2 theta right leq theta frac theta 2 5k 2 leq alpha frac alpha 2 5k 2 abo k2 lt a25 1 a displaystyle k 2 lt frac alpha 2 5 1 alpha Tobto naturalne chislo k displaystyle k mozhe mati lishe skinchennu kilkist znachen Todi h displaystyle h tezh mozhe prijmati skinchennu kilkist znachen LiteraturaChandrasekharan K Vvedenie v analiticheskuyu teoriyu chisel Moskva Mir 1974 187 s ros