Субмультиплікативна норма

У математиці, нормою матриці вважають розширенням терміну векторної норми на матриці.

Нехай у просторі векторів ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ визначена норма вектора ${\displaystyle \|\cdot \|}$. Тоді нормою матриці ${\displaystyle A}$ називають число ${\displaystyle \|A\|=\sup _{x\neq 0}{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}=\sup _{\|x\|=1}{\|Ax\|}}$.

Прямі вирази

У залежності від конкретної норми для векторів можна знайти прямі вирази для норми матриці. Нижче наведені три поширені норми:

1. ${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\max _{1\leq j\leq m}\left|x_{j}\right|}$. Тоді
   ${\displaystyle \|A\|_{\infty }=\max _{1\leq i\leq m}\left(\sum _{j=1}^{m}|a_{ij}|\right)}$
2. ${\displaystyle \|x\|_{1}=\sum _{j=1}^{m}\left|x_{j}\right|}$. Тоді
   ${\displaystyle \|A\|_{1}=\max _{1\leq j\leq m}\left(\sum _{i=1}^{m}\left|a_{ij}\right|\right)}$
3. ${\displaystyle \|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{j=1}^{m}{\left|x_{j}\right|}^{2}}}={\sqrt {(x,x)}}}$. Тоді
   ${\displaystyle \|A\|_{2}={\sqrt {\max _{1\leq i\leq m}\lambda _{A^{T}\cdot A}^{i}}}}$,
   де ${\displaystyle \lambda _{D}^{i}}$ — власні значення матриці ${\displaystyle D}$.

Векторні норми

Матрицю розмірності ${\displaystyle m\times n}$ можна трактувати як вектор довжини ${\displaystyle mn}$ і застосовувати до нього норму вектора.

Норма Фробеніуса

Виглядає так:

${\displaystyle \|A\|_{F}={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}}}}$

Властивості норми матриці

Хай ${\displaystyle K}$ позначає поле з дійсних чи комплексних чисел. Хай ${\displaystyle K^{m\times n}}$ позначає векторний простір, що містить всі матриці з ${\displaystyle m}$ рядків та ${\displaystyle n}$ стовпців з елементами типу ${\displaystyle K}$.

Якщо ${\displaystyle \|A\|}$ позначає норму матриці ${\displaystyle A}$, тоді для неї виконуються такі властивості:

• ${\displaystyle \|A\|>0}$ якщо ${\displaystyle A\neq 0}$ та ${\displaystyle \|A\|=0}$ тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle A=0}$
• ${\displaystyle \|\alpha A\|=|\alpha |\cdot \|A\|,\qquad \forall \alpha \in K}$ та ${\displaystyle \forall A\in K^{m\times n}}$
• ${\displaystyle \|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|,\qquad \forall A,B\in K^{m\times n}.}$

Крім того, у випадку квадратних матриць, деякі (не всі) норми задовольняють наступну властивість, яка пов'язана з тим, що матриці — це більш ніж вектор:

• ${\displaystyle \|AB\|\leq \|A\|\|B\|}$ для всіх ${\displaystyle A}$ та ${\displaystyle B}$ з ${\displaystyle K^{n\times n}.}$

Норма матриці що задовільняє цю властивість називається субмультиплікативною нормою (деякі підручники використовують термін "норма матриці" виключно для субмультиплікативних норм).

Множина квадратних матриць з нормою, що задовольняє останню властивість утворює банахову алгебру.

Узгоджені норми

Матрична норма ${\displaystyle \|\cdot \|}$ на ${\displaystyle K^{m\times n}}$ називається узгодженою (англ. consistent) з векторними нормами ${\displaystyle \|\cdot \|_{a}}$ і ${\displaystyle \|\cdot \|_{b}}$ на ${\displaystyle K^{n}}$ і ${\displaystyle K^{m}}$ відповідно, якщо:

${\displaystyle \|Ax\|_{b}\leq \|A\|\|x\|_{a}}$

для всіх ${\displaystyle A\in K^{m\times n},x\in K^{n}}$. Усі індуковані норми узгодженні за означенням.

Сумісні норми

Матрична норма ${\displaystyle \|\cdot \|}$ на ${\displaystyle K^{n\times n}}$ називається сумісною (англ. compatible) з векторною нормою ${\displaystyle \|\cdot \|_{a}}$ на ${\displaystyle K^{n},}$ якщо:

${\displaystyle \|Ax\|_{a}\leq \|A\|\|x\|_{a}}$

для всіх ${\displaystyle A\in K^{n\times n},x\in K^{n}}$. Індукована норма сумісна за означенням.

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
• Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. Г. Численные методы.