Тригонометричні тотожності — математичні вирази з тригонометричними функціями, що виконуються для всіх значень аргумента зі спільної області визначення.
Основні позначення
Кути
В цій статті кути позначені грецькими буквами і т. д. Величину кута найчастіше задають в градусах або радіанах:
- 1 повне коло = 360 градусів = 2
радіан
В наступній таблиці наведено спвівідношення між значеннями в градусах і радіанах для деяких кутів
Градуси | 30° | 60° | 120° | 150° | 210° | 240° | 300° | 330° |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Радіани | ||||||||
Градуси | 45° | 90° | 135° | 180° | 225° | 270° | 315° | 360° |
Радіани |
Якщо не сказано інакше, то всі кути задано у радіанах, а кути, що закінчуються символом (°) — в градусах.
Тригонометричні функції
У статті будуть наведені співвідношення та тотожності для шести основних тригонометричних функцій:
- синус
- косинус
- тангенс
- котангенс
- секанс
- косеканс
В англомовній літературі тангенс та котангенс зазвичай позначають та
відповідно.
Обернені тригонометричні функції
Обернені тригонометричні функції це такі функції, композиція яких зі звичайними тригонометричними функціями дає тотожне відображення. Наприклад, функція обернена до синуса, відома як обернений синус (sin−1) або арксинус (arcsin or asin), задовольняє співвідношення
та
Тригонометричні функції та обернені до них наведені в наступній таблиці:
Функція | sin | cos | tg | ctg | sec | csc |
---|---|---|---|---|---|---|
Обернена | arcsin | arccos | arctg | arcctg | arcsec | arccsc |
Екзотичні тригонометричні функції
Крім основних шести, також використовують інші тригонометричні функції кута. Їх використовували раніше при розв'язуванні різних навігаційних задач, однак з розвитком обчислювальної техніки вони втратили свою актуальність.
Назва | Скорочене позн. | Значення |
---|---|---|
синус-верзус | ||
косинус-верзус | ||
коверсинус | ||
коверкосинус | ||
гаверсинус | ||
гаверкосинус | ||
когаверсинус | ||
когаверкосинус | ||
ексеканс | ||
екскосеканс | ||
хорда |
Таблиці значень тригонометричних функцій
В тих точках, де значення тангенса та котангенса прямують до нескінченності знак залежить від того з якого боку до цієї точки ми підходимо.
Для тангенса — якщо справа, то , а якщо зліва, то
. Для котангенса навпаки.
Основні тригонометричні формули
Основні формули | |
---|---|
(1) | |
(2) | |
(3) |
Формула (1) є наслідком теореми Піфагора (Тригонометрична тотожність Піфагора). Формули (2) і (3) добуваються діленням формули (1) на та
відповідно.
Співвідношення між основними тригонометричними функціями
Формули зведення
Сукупність формул, що відображають симетрію тригонометричних функцій відносно певних значень кутів, перетворення при зсуві аргументу на деякий кут, а також періодичність тригонометричних функцій.
Симетрія
Виконуються такі співвідношення:
Симетрія відносно кута | Симетрія відносно (співвідношення між ко-функціями) | Симетрія відносно |
---|---|---|
Зсув та періодичність
Співвідношення часто використовують для спрощення обчислень.
Зсув на π/2 | Зсув на π Період tg і ctg | Зсув на 2π Період sin, cos, csc і sec |
---|---|---|
Формули для суми аргументів
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTlrTDJRd0wwTnZjMWh3YkhWelZGODBPQzVuYVdZPS5naWY=.gif)
Формули для суми аргументів | |
---|---|
(5) | |
(6) | |
(7) | |
Формула (7) отримана діленням (5) на (6).
Синус і косинус від нескінченної суми
У правих частинах рівності суму взято по всіх підмножинах натуральних чисел з 2k+1 або 2k елементів відповідно.
Тангенси від сум аргументів
Нехай — елементарні симетричні многочлени степеня k від n змінних
Наприклад:
Тоді
Наприклад:
і так далі.
Секанс і косеканс від суми аргументів
де ek — елементарні симетричні многочлени степеня k від n змінних (дивись пункт тангенси від сум аргументів)
Наприклад,
Формули подвійного кута
Формули подвійного кута виведені з формул (5), (6) і (7), якщо взяти кут β рівним α:
Формули подвійного кута | |
---|---|
(23) | |
(24) | |
(25) | |
Формули потрійного кута
Формули потрійного кута |
---|
Формули кратних кутів
Формули кратних кутів |
---|
де — ціла частина числа
,
— біноміальний коефіцієнт.
Формули для кратних кутів виводяться за допомогою формули Муавра
Розкриємо праву частину рівності за формулою бінома Ньютона
Врахувавши, що та виділивши окремо дійсну та уявну частини, рівність запишемо у вигляді
Підставимо отриману рівність у формулу Муавра
Оскільки два комплексні числа рівні тоді і лише тоді коли рівні їхні дійсні та уявні частини, то з останньої рівності отримуємо шукані формули
Ітераційні формули
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Trigonometrichni totozhnosti matematichni virazi z trigonometrichnimi funkciyami sho vikonuyutsya dlya vsih znachen argumenta zi spilnoyi oblasti viznachennya Osnovni poznachennyaKuti V cij statti kuti poznacheni greckimi bukvami a b g displaystyle alpha beta gamma i t d Velichinu kuta najchastishe zadayut v gradusah abo radianah 1 povne kolo 360 gradusiv 2p displaystyle pi radian V nastupnij tablici navedeno spvividnoshennya mizh znachennyami v gradusah i radianah dlya deyakih kutiv Gradusi 30 60 120 150 210 240 300 330 Radiani p 6 displaystyle frac pi 6 p 3 displaystyle frac pi 3 2 p 3 displaystyle frac 2 pi 3 5 p 6 displaystyle frac 5 pi 6 7 p 6 displaystyle frac 7 pi 6 4 p 3 displaystyle frac 4 pi 3 5 p 3 displaystyle frac 5 pi 3 11 p 6 displaystyle frac 11 pi 6 Gradusi 45 90 135 180 225 270 315 360 Radiani p 4 displaystyle frac pi 4 p 2 displaystyle frac pi 2 3 p 4 displaystyle frac 3 pi 4 p displaystyle pi 5 p 4 displaystyle frac 5 pi 4 3 p 2 displaystyle frac 3 pi 2 7 p 4 displaystyle frac 7 pi 4 2 p displaystyle 2 pi Yaksho ne skazano inakshe to vsi kuti zadano u radianah a kuti sho zakinchuyutsya simvolom v gradusah Trigonometrichni funkciyi Dokladnishe Trigonometrichni funkciyi U statti budut navedeni spivvidnoshennya ta totozhnosti dlya shesti osnovnih trigonometrichnih funkcij sinus sin a displaystyle sin alpha kosinus cos a displaystyle cos alpha tangens tg a sin a cos a a p 2 p n n Z displaystyle operatorname tg alpha frac sin alpha cos alpha quad alpha neq frac pi 2 pi n n in mathbb Z kotangens ctg a cos a sin a a p n n Z displaystyle operatorname ctg alpha frac cos alpha sin alpha quad alpha neq pi n n in mathbb Z sekans sec a 1 cos a a p 2 p n n Z displaystyle operatorname sec alpha frac 1 cos alpha quad alpha neq frac pi 2 pi n n in mathbb Z kosekans csc a 1 sin a a p n n Z displaystyle operatorname csc alpha frac 1 sin alpha quad alpha neq pi n n in mathbb Z V anglomovnij literaturi tangens ta kotangens zazvichaj poznachayut tan a displaystyle tan alpha ta cot a displaystyle cot alpha vidpovidno Oberneni trigonometrichni funkciyi Dokladnishe Oberneni trigonometrichni funkciyi Oberneni trigonometrichni funkciyi ce taki funkciyi kompoziciya yakih zi zvichajnimi trigonometrichnimi funkciyami daye totozhne vidobrazhennya Napriklad funkciya obernena do sinusa vidoma yak obernenij sinus sin 1 abo arksinus arcsin or asin zadovolnyaye spivvidnoshennya sin arcsin x x x 1 displaystyle sin arcsin x x quad quad x leq 1 ta arcsin sin x x x p 2 displaystyle arcsin sin x x quad quad x leq frac pi 2 Trigonometrichni funkciyi ta oberneni do nih navedeni v nastupnij tablici Funkciya sin cos tg ctg sec csc Obernena arcsin arccos arctg arcctg arcsec arccsc Ekzotichni trigonometrichni funkciyi Dokladnishe Ekzotichni trigonometrichni funkciyi Krim osnovnih shesti takozh vikoristovuyut inshi trigonometrichni funkciyi kuta Yih vikoristovuvali ranishe pri rozv yazuvanni riznih navigacijnih zadach odnak z rozvitkom obchislyuvalnoyi tehniki voni vtratili svoyu aktualnist Nazva Skorochene pozn Znachennya sinus verzus versin 8 displaystyle operatorname versin theta vers 8 displaystyle operatorname vers theta ver 8 displaystyle operatorname ver theta 1 cos 8 displaystyle 1 cos theta kosinus verzus vercosin 8 displaystyle operatorname vercosin theta 1 cos 8 displaystyle 1 cos theta koversinus coversin 8 displaystyle operatorname coversin theta cvs 8 displaystyle operatorname cvs theta 1 sin 8 displaystyle 1 sin theta koverkosinus covercosin 8 displaystyle operatorname covercosin theta 1 sin 8 displaystyle 1 sin theta gaversinus haversin 8 displaystyle operatorname haversin theta 1 cos 8 2 displaystyle frac 1 cos theta 2 gaverkosinus havercosin 8 displaystyle operatorname havercosin theta 1 cos 8 2 displaystyle frac 1 cos theta 2 kogaversinus hacoversin 8 displaystyle operatorname hacoversin theta 1 sin 8 2 displaystyle frac 1 sin theta 2 kogaverkosinus hacovercosin 8 displaystyle operatorname hacovercosin theta 1 sin 8 2 displaystyle frac 1 sin theta 2 eksekans exsec 8 displaystyle operatorname exsec theta sec 8 1 displaystyle sec theta 1 ekskosekans excsc 8 displaystyle operatorname excsc theta csc 8 1 displaystyle csc theta 1 horda crd 8 displaystyle operatorname crd theta 2 sin 8 2 displaystyle 2 sin frac theta 2 Tablici znachen trigonometrichnih funkcijZnachennya trigonometrichnih funkcij dlya najposhirenishih znachen kutiv v radianah 0 displaystyle 0 p 6 displaystyle frac pi 6 p 4 displaystyle frac pi 4 p 3 displaystyle frac pi 3 p 2 displaystyle frac pi 2 2 p 3 displaystyle frac 2 pi 3 3 p 4 displaystyle frac 3 pi 4 5 p 6 displaystyle frac 5 pi 6 p displaystyle pi 3 p 2 displaystyle frac 3 pi 2 sin a displaystyle sin alpha 0 displaystyle 0 1 2 displaystyle frac 1 2 2 2 displaystyle frac sqrt 2 2 3 2 displaystyle frac sqrt 3 2 1 displaystyle 1 3 2 displaystyle frac sqrt 3 2 2 2 displaystyle frac sqrt 2 2 1 2 displaystyle frac 1 2 0 displaystyle 0 1 displaystyle 1 cos a displaystyle cos alpha 1 displaystyle 1 3 2 displaystyle frac sqrt 3 2 2 2 displaystyle frac sqrt 2 2 1 2 displaystyle frac 1 2 0 displaystyle 0 1 2 displaystyle frac 1 2 2 2 displaystyle frac sqrt 2 2 3 2 displaystyle frac sqrt 3 2 1 displaystyle 1 0 displaystyle 0 tg a displaystyle operatorname tg alpha 0 displaystyle 0 3 3 displaystyle frac sqrt 3 3 1 displaystyle 1 3 displaystyle sqrt 3 displaystyle pm infty 3 displaystyle sqrt 3 1 displaystyle 1 3 3 displaystyle frac sqrt 3 3 0 displaystyle 0 displaystyle pm infty ctg a displaystyle operatorname ctg alpha displaystyle pm infty 3 displaystyle sqrt 3 1 displaystyle 1 3 3 displaystyle frac sqrt 3 3 0 displaystyle 0 3 3 displaystyle frac sqrt 3 3 1 displaystyle 1 3 displaystyle sqrt 3 displaystyle pm infty 0 displaystyle 0 V tih tochkah de znachennya tangensa ta kotangensa pryamuyut do neskinchennosti znak zalezhit vid togo z yakogo boku do ciyeyi tochki mi pidhodimo Dlya tangensa yaksho sprava to displaystyle infty a yaksho zliva to displaystyle infty Dlya kotangensa navpaki Znachennya trigonometrichnih funkcij dlya deyakih kutiv p 16 displaystyle frac pi 16 p 15 displaystyle frac pi 15 p 12 displaystyle frac pi 12 p 10 displaystyle frac pi 10 p 8 displaystyle frac pi 8 p 5 displaystyle frac pi 5 sin a displaystyle sin alpha 2 2 2 2 displaystyle frac sqrt 2 sqrt 2 sqrt 2 2 10 2 5 3 1 5 8 displaystyle frac sqrt 10 2 sqrt 5 sqrt 3 1 sqrt 5 8 2 3 2 displaystyle frac sqrt 2 sqrt 3 2 5 1 4 displaystyle frac sqrt 5 1 4 2 2 2 displaystyle frac sqrt 2 sqrt 2 2 5 5 8 displaystyle sqrt frac 5 sqrt 5 8 cos a displaystyle cos alpha 2 2 2 2 displaystyle frac sqrt 2 sqrt 2 sqrt 2 2 3 10 2 5 5 1 8 displaystyle frac sqrt 3 sqrt 10 2 sqrt 5 sqrt 5 1 8 2 3 2 displaystyle frac sqrt 2 sqrt 3 2 5 5 8 displaystyle sqrt frac 5 sqrt 5 8 2 2 2 displaystyle frac sqrt 2 sqrt 2 2 5 1 4 displaystyle frac sqrt 5 1 4 Osnovni trigonometrichni formuliOsnovni formuli sin 2 a cos 2 a 1 displaystyle sin 2 alpha cos 2 alpha 1 1 tg 2 a 1 1 cos 2 a sec 2 a displaystyle operatorname tg 2 alpha 1 frac 1 cos 2 alpha operatorname sec 2 alpha 2 ctg 2 a 1 1 sin 2 a csc 2 a displaystyle operatorname ctg 2 alpha 1 frac 1 sin 2 alpha operatorname csc 2 alpha 3 Formula 1 ye naslidkom teoremi Pifagora Trigonometrichna totozhnist Pifagora Formuli 2 i 3 dobuvayutsya dilennyam formuli 1 na cos 2 a displaystyle cos 2 alpha ta sin 2 a displaystyle sin 2 alpha vidpovidno Spivvidnoshennya mizh osnovnimi trigonometrichnimi funkciyami Kozhna z trigonometrichnih funkcij virazhena cherez p yat inshih sin a displaystyle sin alpha cos a displaystyle cos alpha tg a displaystyle operatorname tg alpha csc a displaystyle csc alpha sec a displaystyle sec alpha ctg a displaystyle operatorname ctg alpha sin a displaystyle sin alpha sin a displaystyle sin alpha 1 cos 2 a displaystyle pm sqrt 1 cos 2 alpha tg a 1 tg 2 a displaystyle pm frac operatorname tg alpha sqrt 1 operatorname tg 2 alpha 1 csc a displaystyle frac 1 csc alpha sec 2 a 1 sec a displaystyle pm frac sqrt sec 2 alpha 1 sec alpha 1 1 ctg 2 a displaystyle pm frac 1 sqrt 1 operatorname ctg 2 alpha cos a displaystyle cos alpha 1 sin 2 a displaystyle pm sqrt 1 sin 2 alpha cos a displaystyle cos alpha 1 1 tg 2 a displaystyle pm frac 1 sqrt 1 operatorname tg 2 alpha csc 2 a 1 csc a displaystyle pm frac sqrt csc 2 alpha 1 csc alpha 1 sec a displaystyle frac 1 sec alpha ctg a 1 ctg 2 a displaystyle pm frac operatorname ctg alpha sqrt 1 operatorname ctg 2 alpha tg a displaystyle operatorname tg alpha sin a 1 sin 2 a displaystyle pm frac sin alpha sqrt 1 sin 2 alpha 1 cos 2 a cos a displaystyle pm frac sqrt 1 cos 2 alpha cos alpha tg a displaystyle operatorname tg alpha 1 csc 2 a 1 displaystyle pm frac 1 sqrt csc 2 alpha 1 sec 2 a 1 displaystyle pm sqrt sec 2 alpha 1 1 ctg a displaystyle frac 1 operatorname ctg alpha csc a displaystyle csc alpha 1 sin a displaystyle frac 1 sin alpha 1 1 cos 2 a displaystyle pm frac 1 sqrt 1 cos 2 alpha 1 tg 2 a tg a displaystyle pm frac sqrt 1 operatorname tg 2 alpha operatorname tg alpha csc a displaystyle csc alpha sec a sec 2 a 1 displaystyle pm frac sec alpha sqrt sec 2 alpha 1 1 ctg 2 a displaystyle pm sqrt 1 operatorname ctg 2 alpha sec a displaystyle sec alpha 1 1 sin 2 a displaystyle pm frac 1 sqrt 1 sin 2 alpha 1 cos a displaystyle frac 1 cos alpha 1 tg 2 a displaystyle pm sqrt 1 operatorname tg 2 alpha csc a csc 2 a 1 displaystyle pm frac csc alpha sqrt csc 2 alpha 1 sec a displaystyle sec alpha 1 ctg 2 a ctg a displaystyle pm frac sqrt 1 operatorname ctg 2 alpha operatorname ctg alpha ctg a displaystyle operatorname ctg alpha 1 sin 2 a sin a displaystyle pm frac sqrt 1 sin 2 alpha sin alpha cos a 1 cos 2 a displaystyle pm frac cos alpha sqrt 1 cos 2 alpha 1 tg a displaystyle frac 1 operatorname tg alpha csc 2 a 1 displaystyle pm sqrt csc 2 alpha 1 1 sec 2 a 1 displaystyle pm frac 1 sqrt sec 2 alpha 1 ctg a displaystyle operatorname ctg alpha Formuli zvedennyaSukupnist formul sho vidobrazhayut simetriyu trigonometrichnih funkcij vidnosno pevnih znachen kutiv peretvorennya pri zsuvi argumentu na deyakij kut a takozh periodichnist trigonometrichnih funkcij Simetriya Vikonuyutsya taki spivvidnoshennya Simetriya vidnosno kuta a 0 displaystyle alpha 0 Simetriya vidnosno a p 2 displaystyle alpha pi 2 spivvidnoshennya mizh ko funkciyami Simetriya vidnosno a p displaystyle alpha pi sin a sin a cos a cos a tg a tg a csc a csc a sec a sec a ctg a ctg a displaystyle begin aligned sin alpha amp sin alpha cos alpha amp cos alpha operatorname tg alpha amp operatorname tg alpha csc alpha amp csc alpha sec alpha amp sec alpha operatorname ctg alpha amp operatorname ctg alpha end aligned sin p 2 a cos a cos p 2 a sin a tg p 2 a ctg a csc p 2 a sec a sec p 2 a csc a ctg p 2 a tg a displaystyle begin aligned sin tfrac pi 2 alpha amp cos alpha cos tfrac pi 2 alpha amp sin alpha operatorname tg tfrac pi 2 alpha amp operatorname ctg alpha csc tfrac pi 2 alpha amp sec alpha sec tfrac pi 2 alpha amp csc alpha operatorname ctg tfrac pi 2 alpha amp operatorname tg alpha end aligned sin p a sin a cos p a cos a tg p a tg a csc p a csc a sec p a sec a ctg p a ctg a displaystyle begin aligned sin pi alpha amp sin alpha cos pi alpha amp cos alpha operatorname tg pi alpha amp operatorname tg alpha csc pi alpha amp csc alpha sec pi alpha amp sec alpha operatorname ctg pi alpha amp operatorname ctg alpha end aligned Zsuv ta periodichnist Spivvidnoshennya chasto vikoristovuyut dlya sproshennya obchislen Zsuv na p 2 Zsuv na p Period tg i ctg Zsuv na 2p Period sin cos csc i sec sin a p 2 cos a cos a p 2 sin a t g a p 2 ctg a csc a p 2 sec a sec a p 2 csc a c t g a p 2 tg a displaystyle begin aligned sin alpha tfrac pi 2 amp cos alpha cos alpha tfrac pi 2 amp sin alpha mathrm tg alpha tfrac pi 2 amp operatorname ctg alpha csc alpha tfrac pi 2 amp sec alpha sec alpha tfrac pi 2 amp csc alpha mathrm ctg alpha tfrac pi 2 amp operatorname tg alpha end aligned sin a p sin a cos a p cos a t g a p tg a csc a p csc a sec a p sec a c t g a p ctg a displaystyle begin aligned sin alpha pi amp sin alpha cos alpha pi amp cos alpha mathrm tg alpha pi amp operatorname tg alpha csc alpha pi amp csc alpha sec alpha pi amp sec alpha mathrm ctg alpha pi amp operatorname ctg alpha end aligned sin a 2 p sin a cos a 2 p cos a t g a 2 p tg a csc a 2 p csc a sec a 2 p sec a c t g a 2 p ctg a displaystyle begin aligned sin alpha 2 pi amp sin alpha cos alpha 2 pi amp cos alpha mathrm tg alpha 2 pi amp operatorname tg alpha csc alpha 2 pi amp csc alpha sec alpha 2 pi amp sec alpha mathrm ctg alpha 2 pi amp operatorname ctg alpha end aligned Formuli dlya sumi argumentivVizualizaciya formuli 6 Formuli dlya sumi argumentiv sin a b sin a cos b cos a sin b displaystyle sin left alpha pm beta right sin alpha cos beta pm cos alpha sin beta 5 cos a b cos a cos b sin a sin b displaystyle cos left alpha pm beta right cos alpha cos beta mp sin alpha sin beta 6 t g a b t g a t g b 1 t g a t g b displaystyle mathop mathrm tg left alpha pm beta right frac mathop mathrm tg alpha pm mathop mathrm tg beta 1 mp mathop mathrm tg alpha mathop mathrm tg beta 7 ctg a b c t g a c t g b 1 c t g a c t g b displaystyle operatorname ctg left alpha pm beta right frac mathop mathrm ctg alpha mathop mathrm ctg beta mp 1 mathop mathrm ctg alpha pm mathop mathrm ctg beta Formula 7 otrimana dilennyam 5 na 6 Sinus i kosinus vid neskinchennoyi sumi sin i 1 a i k 0 1 k A 1 2 3 A 2 k 1 i A sin a i i A cos a i displaystyle sin left sum i 1 infty alpha i right sum k 0 infty 1 k sum begin smallmatrix A subseteq 1 2 3 dots left A right 2k 1 end smallmatrix left prod i in A sin alpha i prod i not in A cos alpha i right cos i 1 a i k 0 1 k A 1 2 3 A 2 k i A sin a i i A cos a i displaystyle cos left sum i 1 infty alpha i right sum k 0 infty 1 k sum begin smallmatrix A subseteq 1 2 3 dots left A right 2k end smallmatrix left prod i in A sin alpha i prod i not in A cos alpha i right U pravih chastinah rivnosti sumu vzyato po vsih pidmnozhinah naturalnih chisel z 2k 1 abo 2k elementiv vidpovidno Tangensi vid sum argumentiv Nehaj e k e k x 1 x n k 0 1 2 n 1 2 3 displaystyle e k e k x 1 ldots x n k 0 1 2 ldots n 1 2 3 ldots elementarni simetrichni mnogochleni stepenya k vid n zminnih x i tg a i i 1 2 n displaystyle x i operatorname tg alpha i quad i 1 2 ldots n Napriklad e 0 1 displaystyle e 0 1 e 1 i 1 n x i i tg a i displaystyle e 1 sum i 1 n x i sum i operatorname tg alpha i e 2 1 i lt j n x i x j i lt j tg a i tg a j displaystyle e 2 sum 1 leq i lt j leq n x i x j sum i lt j operatorname tg alpha i operatorname tg alpha j e 3 1 i lt j lt k n x i x j x k i lt j lt k tg a i tg a j tg a k displaystyle e 3 sum 1 leq i lt j lt k leq n x i x j x k sum i lt j lt k operatorname tg alpha i operatorname tg alpha j operatorname tg alpha k Todi tg i 1 2 k a i e 1 e 3 e 5 1 k 1 e 2 k 1 e 0 e 2 e 4 1 k e 2 k i 1 k 1 i 1 e 2 i 1 i 0 k 1 i e 2 i displaystyle operatorname tg left sum i 1 2k alpha i right frac e 1 e 3 e 5 cdots 1 k 1 e 2k 1 e 0 e 2 e 4 cdots 1 k e 2k frac sum i 1 k 1 i 1 e 2i 1 sum i 0 k 1 i e 2i tg i 1 2 k 1 a i e 1 e 3 e 5 1 k e 2 k 1 e 0 e 2 e 4 1 k e 2 k i 1 k 1 i e 2 i 1 i 0 k 1 i e 2 i displaystyle operatorname tg left sum i 1 2k 1 alpha i right frac e 1 e 3 e 5 cdots 1 k e 2k 1 e 0 e 2 e 4 cdots 1 k e 2k frac sum i 1 k 1 i e 2i 1 sum i 0 k 1 i e 2i Napriklad t g a 1 a 2 e 1 e 0 e 2 x 1 x 2 1 x 1 x 2 t g a 1 t g a 2 1 t g a 1 t g a 2 t g a 1 a 2 a 3 e 1 e 3 e 0 e 2 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 1 x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3 t g a 1 t g a 2 t g a 3 t g a 1 t g a 2 t g a 3 1 t g a 1 t g a 2 t g a 1 t g a 3 t g a 2 t g a 3 t g a 1 a 2 a 3 a 4 e 1 e 3 e 0 e 2 e 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 4 x 1 x 3 x 4 x 2 x 3 x 4 1 x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 x 4 x 2 x 3 x 2 x 4 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 displaystyle begin aligned mathrm tg alpha 1 alpha 2 amp frac e 1 e 0 e 2 frac x 1 x 2 1 x 1 x 2 frac mathrm tg alpha 1 mathrm tg alpha 2 1 mathrm tg alpha 1 mathrm tg alpha 2 8pt mathrm tg alpha 1 alpha 2 alpha 3 amp frac e 1 e 3 e 0 e 2 frac x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 1 x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3 frac mathrm tg alpha 1 mathrm tg alpha 2 mathrm tg alpha 3 mathrm tg alpha 1 mathrm tg alpha 2 mathrm tg alpha 3 1 mathrm tg alpha 1 mathrm tg alpha 2 mathrm tg alpha 1 mathrm tg alpha 3 mathrm tg alpha 2 mathrm tg alpha 3 8pt mathrm tg alpha 1 alpha 2 alpha 3 alpha 4 amp frac e 1 e 3 e 0 e 2 e 4 8pt amp frac x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 4 x 1 x 3 x 4 x 2 x 3 x 4 1 x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 x 4 x 2 x 3 x 2 x 4 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 end aligned i tak dali Sekans i kosekans vid sumi argumentiv sec i n a i i n sec a i e 0 e 2 e 4 i n sec a i 0 2 k n 1 k e 2 k csc i n a i i n sec a i e 1 e 3 e 5 i n sec a i 1 2 k 1 n 1 k e 2 k 1 displaystyle begin aligned sec left sum i n alpha i right amp frac displaystyle prod i n sec alpha i e 0 e 2 e 4 cdots frac displaystyle prod i n sec alpha i displaystyle sum 0 leq 2k leq n 1 k e 2k 8pt csc left sum i n alpha i right amp frac displaystyle prod i n sec alpha i e 1 e 3 e 5 cdots frac displaystyle prod i n sec alpha i displaystyle sum 1 leq 2k 1 leq n 1 k e 2k 1 end aligned de ek elementarni simetrichni mnogochleni stepenya k vid n zminnih divis punkt tangensi vid sum argumentiv x i tg a i i 1 2 n displaystyle x i operatorname tg alpha i quad i 1 2 ldots n Napriklad sec a b g sec a sec b sec g 1 t g a t g b t g a t g g t g b t g g csc a b g sec a sec b sec g t g a t g b t g g t g a t g b tg g displaystyle begin aligned sec alpha beta gamma amp frac sec alpha sec beta sec gamma 1 mathrm tg alpha mathrm tg beta mathrm tg alpha mathrm tg gamma mathrm tg beta mathrm tg gamma 8pt csc alpha beta gamma amp frac sec alpha sec beta sec gamma mathrm tg alpha mathrm tg beta mathrm tg gamma mathrm tg alpha mathrm tg beta operatorname tg gamma end aligned Formuli podvijnogo kutaFormuli podvijnogo kuta vivedeni z formul 5 6 i 7 yaksho vzyati kut b rivnim a Formuli podvijnogo kuta s i n 2 a 2 sin a cos a displaystyle mathop mathrm sin 2 alpha 2 sin alpha cos alpha 23 c o s 2 a cos 2 a sin 2 a 2 cos 2 a 1 1 2 sin 2 a 1 t g 2 a 1 t g 2 a displaystyle mathop mathrm cos 2 alpha cos 2 alpha sin 2 alpha 2 cos 2 alpha 1 1 2 operatorname sin 2 alpha frac 1 mathop mathrm tg 2 alpha 1 mathop mathrm tg 2 alpha 24 t g 2 a 2 t g a 1 t g 2 a 2 ctg a tg a displaystyle mathop mathrm tg 2 alpha frac 2 mathop mathrm tg alpha 1 mathop mathrm tg 2 alpha frac 2 operatorname ctg alpha operatorname tg alpha 25 c t g 2 a c t g 2 a 1 2 c t g a ctg a tg a 2 displaystyle mathop mathrm ctg 2 alpha frac mathop mathrm ctg 2 alpha 1 2 mathop mathrm ctg alpha frac operatorname ctg alpha operatorname tg alpha 2 Formuli potrijnogo kutaFormuli potrijnogo kuta sin 3 a 3 sin a 4 sin 3 a 4 sin a sin p 3 a sin p 3 a displaystyle sin 3 alpha 3 sin alpha 4 sin 3 alpha 4 sin alpha sin left frac pi 3 alpha right sin left frac pi 3 alpha right cos 3 a 4 cos 3 a 3 cos a 4 cos a cos p 3 a cos p 3 a displaystyle cos 3 alpha 4 cos 3 alpha 3 cos alpha 4 cos alpha cos left frac pi 3 alpha right cos left frac pi 3 alpha right tg 3 a 3 tg a tg 3 a 1 3 tg 2 a t g a tg p 3 a tg p 3 a displaystyle operatorname tg 3 alpha frac 3 operatorname tg alpha operatorname tg 3 alpha 1 3 operatorname tg 2 alpha mathop mathrm tg alpha operatorname tg left frac pi 3 alpha right operatorname tg left frac pi 3 alpha right ctg 3 a 3 ctg a ctg 3 a 1 3 ctg 2 a c t g a ctg p 3 a ctg p 3 a displaystyle operatorname ctg 3 alpha frac 3 operatorname ctg alpha operatorname ctg 3 alpha 1 3 operatorname ctg 2 alpha mathrm ctg alpha operatorname ctg left frac pi 3 alpha right operatorname ctg left frac pi 3 alpha right Formuli kratnih kutivFormuli kratnih kutiv sin n a k 0 n 2 1 k n 2 k 1 cos n 2 k 1 a sin 2 k 1 a displaystyle sin n alpha sum k 0 n 2 1 k binom n 2k 1 cos n 2k 1 alpha sin 2k 1 alpha cos n a k 0 n 2 1 k n 2 k cos n 2 k a sin 2 k a displaystyle cos n alpha sum k 0 n 2 1 k binom n 2k cos n 2k alpha sin 2k alpha t g n a sin n a cos n a k 0 n 2 1 k n 2 k 1 tg 2 k 1 a k 0 n 2 1 k n 2 k tg 2 k a displaystyle mathrm tg n alpha frac sin n alpha cos n alpha dfrac displaystyle sum limits k 0 n 2 1 k binom n 2k 1 operatorname tg 2k 1 alpha displaystyle sum limits k 0 n 2 1 k binom n 2k operatorname tg 2k alpha c t g n a cos n a sin n a k 0 n 2 1 k n 2 k ctg n 2 k a k 0 n 2 1 k n 2 k 1 ctg n 2 k 1 a displaystyle mathrm ctg n alpha frac cos n alpha sin n alpha dfrac displaystyle sum limits k 0 n 2 1 k binom n 2k operatorname ctg n 2k alpha displaystyle sum limits k 0 n 2 1 k binom n 2k 1 operatorname ctg n 2k 1 alpha de n displaystyle n cila chastina chisla n displaystyle n n k displaystyle binom n k binomialnij koeficiyent Vivid formul Formuli dlya kratnih kutiv vivodyatsya za dopomogoyu formuli Muavra cos a i sin a n cos n a i sin n a i 2 1 displaystyle left cos alpha i sin alpha right n cos left n alpha right i sin left n alpha right quad i 2 1 Rozkriyemo pravu chastinu rivnosti za formuloyu binoma Nyutona cos a i sin a n q 0 n n q cos a n q i sin a q displaystyle left cos alpha i sin alpha right n sum q 0 n n choose q cos alpha n q i sin alpha q Vrahuvavshi sho i 2 k 1 k i 2 k 1 1 k i k Z displaystyle i 2k 1 k i 2k 1 1 k i k in mathbb Z ta vidilivshi okremo dijsnu ta uyavnu chastini rivnist zapishemo u viglyadi cos a i sin a n k 0 n 2 n 2 k 1 k cos a n 2 k sin a 2 k i k 0 n 2 n 2 k 1 1 k cos a n 2 k 1 sin a 2 k 1 displaystyle left cos alpha i sin alpha right n sum k 0 n 2 n choose 2k 1 k cos alpha n 2k sin alpha 2k i left sum k 0 n 2 n choose 2k 1 1 k cos alpha n 2k 1 sin alpha 2k 1 right Pidstavimo otrimanu rivnist u formulu Muavra k 0 n 2 n 2 k 1 k cos a n 2 k sin a 2 k i k 0 n 2 n 2 k 1 1 k cos a n 2 k 1 sin a 2 k 1 cos n a i sin n a displaystyle sum k 0 n 2 n choose 2k 1 k cos alpha n 2k sin alpha 2k i left sum k 0 n 2 n choose 2k 1 1 k cos alpha n 2k 1 sin alpha 2k 1 right cos left n alpha right i sin left n alpha right Oskilki dva kompleksni chisla rivni todi i lishe todi koli rivni yihni dijsni ta uyavni chastini to z ostannoyi rivnosti otrimuyemo shukani formuli sin n a k 0 n 2 1 k n 2 k 1 cos n 2 k 1 a sin 2 k 1 a displaystyle sin n alpha sum k 0 n 2 1 k binom n 2k 1 cos n 2k 1 alpha sin 2k 1 alpha cos n a k 0 n 2 1 k n 2 k cos n 2 k a sin 2 k a displaystyle cos n alpha sum k 0 n 2 1 k binom n 2k cos n 2k alpha sin 2k alpha Iteracijni formuli sin n 1 a 2 sin a cos n a sin n 1 a displaystyle sin n 1 alpha 2 sin alpha cos n alpha sin n 1 alpha cos n 1 a 2 cos a cos n a cos n 1 a displaystyle cos n 1 alpha 2 cos alpha cos n alpha cos n 1 alpha t g n 1 a t g n a tg a 1 t g n a tg a displaystyle mathrm tg n 1 alpha frac mathrm tg n alpha operatorname tg alpha 1 mathrm tg n alpha operatorname tg alpha c t g n 1 a c t g n a ctg a 1 c t g n a ctg a displaystyle mathrm ctg n 1 alpha frac mathrm ctg n alpha operatorname ctg alpha 1 mathrm ctg n alpha operatorname ctg alpha